Soluzioni
  • Si dice delta negativo il discriminante di un'equazione di secondo grado nel caso in cui sia minore di zero. Se dopo aver calcolato il delta di un'equazione di secondo grado si ottiene un numero minore di zero, si dice che l'equazione ha delta negativo.

    In generale, se consideriamo l'equazione di secondo grado

    ax^2+bx+c=0,\ \ \mbox{ con } a\neq 0

    il calcolo del delta si svolge applicando la seguente formula:

    \Delta = b^2-4ac

    dove b è il coefficiente del termine di primo grado, a è il coefficiente del termine di secondo grado e c è il termine noto.

    Se dalla formula del delta si ottiene un numero negativo, si dice che l'equazione ha delta negativo.

    Delta negativo nelle equazioni di secondo grado

    Se un'equazione di secondo grado ha delta negativo allora l'equazione non ammette soluzioni reali, cioè è un'equazione impossibile in \mathbb{R}.

    Capirne il motivo è semplicissimo. Le soluzioni di un'equazione di secondo grado

    ax^2+bx+c=0,\ \ \mbox{ con } a\neq 0

    sono date da

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

    Se il delta è negativo allora \sqrt{\Delta} non esiste, infatti in \mathbb{R} non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo.

    Esempi di equazioni con delta negativo

    1) x^2+2x+3=0

    I coefficienti dell'equazione sono dati da: a=1, \ b=2, \ c=3

    Applicando la formula per il calcolo del delta si ottiene

    \Delta=b^2-4ac=2^2-4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8

    L'equazione in esame ha delta negativo e quindi non ha soluzioni reali.

    2) 3x^2-4x+5=0

    \Delta=b^2-4ac=(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44

    Il delta dell'equazione è negativo, quindi è un'equazione impossibile in \mathbb{R}.

    Delta negativo nelle disequazioni di secondo grado

    Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme

    \\ ax^2+bx+c>0 \\ \\ ax^2+bx+c \ge 0 \\ \\ ax^2+bx+c<0 \\ \\ ax^2+bx+c \le 0

    dove a, \ b, \ c sono tre qualsiasi numeri reali, con a \neq 0.

    Se l'equazione associata a una disequazione di secondo grado ha delta negativo, allora possono presentarsi due casi:

    - la disequazione è verificata per ogni x \in \mathbb{R};

    - la disequazione è impossibile.

    Tutto dipende dal verso della disequazione e dal segno del coefficiente del termine di secondo grado.

    Supponiamo che il coefficiente del termine di secondo grado sia maggiore di zero: a>0. Allora:

    - se il verso della disequazione è > o ≥ la disequazione è verificata per ogni x \in \mathbb{R};

    - se il verso della disequazione è < o ≤ la disequazione è impossibile.

     

    Verso della disequazione

    Soluzione

    L'equazione associata ha delta negativo

    \Delta<0

    e il coefficiente del termine di secondo grado è positivo

    a>0

    ax^2+bx+c > 0


    ax^2+bx+c\ge 0


    ax^2+bx+c < 0


    ax^2+bx+c \le 0

    \forall x \in \mathbb{R}


    \forall x \in \mathbb{R}


    \not\exists \in\mathbb{R}


    \not\exists \in\mathbb{R}

     

    E se a è minore di zero?

    In tal caso è sufficiente cambiare il segno di tutti i e tre i coefficienti a, \ b, \ c della disequazione, ricordandoci di cambiarne anche il verso.

    In tal modo ci si riconduce al caso a>0 e sappiamo come procedere.

    Esempi di disequazioni con delta negativo

    1) x^2-6x+10>0

    Il coefficiente del termine di secondo grado è a=1 che è un numero maggiore di zero.

    Calcoliamo il delta dell'equazione di secondo grado associata

    \\ x^2-6x+10>0 \\ \\ \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4

    Poiché il delta è negativo e il verso della disequazione è >, la disequazione è verificata per ogni x \in \mathbb{R}

    2) -8x^2+5x-1 \ge 0

    Nella disequazione assegnata il coefficiente del termine di secondo grado è negativo. Rendiamolo positivo cambiando il segno di tutti i coefficienti e il verso della disequazione.

    8x^2-5x+1 \le 0

    L'equazione di secondo grado a essa associata è

    8x^2-5x+1=0

    Applicando la formula per il calcolo del delta si ottiene

    \Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 25 - 32 = -7

    Il delta è negativo e il verso della disequazione è ≤. Pertanto la disequazione è impossibile.

    Equazioni con delta negativo in campo complesso

    Nell'insieme \mathbb{C} dei numeri complessi, un'equazione di secondo grado con delta negativo ammette due radici complesse coniugate.

    In \mathbb{C} infatti è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo, quindi anche le equazioni con delta negativo ammettono soluzione.

    Esempio di equazione con delta negativo in campo complesso

    Risolvere in \mathbb{C} la seguente equazione di secondo grado

    5x^2-2x+1=0

    Calcoliamo il delta

    \Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4-20 = -16

    Osserviamo che

    -16 = 16 \cdot (-1)

    Quindi, per le proprietà dei radicali

    \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}

    Per definizione di unità immaginaria

    \sqrt{-1} = \imath

    mentre

    \sqrt{16}=4

    Pertanto

    \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} = 4\imath

    Possiamo ora calcolare le soluzioni complesse dell'equazione data

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2a} = \frac{2 \pm 4\imath}{10} = \frac{2(1 \pm 2\imath)}{10} = \frac{1 \pm 2\imath}{5}

    Abbiamo ottenuto due soluzioni complesse coniugate

    x_1 = \frac{1-2\imath}{5}\ \ \ ;\ \ \ x_2=\frac{1+2\imath}{5}

    ***

    Per vedere altri esempi di equazioni o disequazioni con delta negativo potete consultare le seguenti pagine:

    - esercizi sulle equazioni di secondo grado;

    - esercizi sulle disequazioni di secondo grado.

    Risposta di Galois
 
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