Delta negativo

Si dice delta negativo il discriminante di un'equazione di secondo grado nel caso in cui sia minore di zero. Se dopo aver calcolato il delta di un'equazione di secondo grado si ottiene un numero minore di zero, si dice che l'equazione ha delta negativo.

In generale, se consideriamo l'equazione di secondo grado

il calcolo del delta si svolge applicando la seguente formula:

dove è il coefficiente del termine di primo grado, è il coefficiente del termine di secondo grado e è il termine noto.

Se dalla formula del delta si ottiene un numero negativo, si dice che l'equazione ha delta negativo.

Delta negativo nelle equazioni di secondo grado

Se un'equazione di secondo grado ha delta negativo allora l'equazione non ammette soluzioni reali, cioè è un'equazione impossibile in .

Capirne il motivo è semplicissimo. Le soluzioni di un'equazione di secondo grado

sono date da

Se il delta è negativo allora non esiste, infatti in non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo.

Esempi di equazioni con delta negativo

1)

I coefficienti dell'equazione sono dati da:

Applicando la formula per il calcolo del delta si ottiene

L'equazione in esame ha delta negativo e quindi non ha soluzioni reali.

2)

Il delta dell'equazione è negativo, quindi è un'equazione impossibile in .

Delta negativo nelle disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme

dove sono tre qualsiasi numeri reali, con .

Se l'equazione associata a una disequazione di secondo grado ha delta negativo, allora possono presentarsi due casi:

- la disequazione è verificata per ogni ;

- la disequazione è impossibile.

Tutto dipende dal verso della disequazione e dal segno del coefficiente del termine di secondo grado.

Supponiamo che il coefficiente del termine di secondo grado sia maggiore di zero: . Allora:

- se il verso della disequazione è > o ≥ la disequazione è verificata per ogni ;

- se il verso della disequazione è < o ≤ la disequazione è impossibile.

E se è minore di zero?

In tal caso è sufficiente cambiare il segno di tutti i e tre i coefficienti della disequazione, ricordandoci di cambiarne anche il verso.

In tal modo ci si riconduce al caso e sappiamo come procedere.

Esempi di disequazioni con delta negativo

1)

Il coefficiente del termine di secondo grado è che è un numero maggiore di zero.

Calcoliamo il delta dell'equazione di secondo grado associata

Poiché il delta è negativo e il verso della disequazione è >, la disequazione è verificata per ogni

2)

Nella disequazione assegnata il coefficiente del termine di secondo grado è negativo. Rendiamolo positivo cambiando il segno di tutti i coefficienti e il verso della disequazione.

L'equazione di secondo grado a essa associata è

Applicando la formula per il calcolo del delta si ottiene

Il delta è negativo e il verso della disequazione è ≤. Pertanto la disequazione è impossibile.

Equazioni con delta negativo in campo complesso

Nell'insieme dei numeri complessi, un'equazione di secondo grado con delta negativo ammette due radici complesse coniugate.

In infatti è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo, quindi anche le equazioni con delta negativo ammettono soluzione.

Esempio di equazione con delta negativo in campo complesso

Risolvere in la seguente equazione di secondo grado

Calcoliamo il delta

Osserviamo che

Quindi, per le proprietà dei radicali

Per definizione di unità immaginaria

mentre

Pertanto

Possiamo ora calcolare le soluzioni complesse dell'equazione data

Abbiamo ottenuto due soluzioni complesse coniugate

***

Per vedere altri esempi di equazioni o disequazioni con delta negativo potete consultare le seguenti pagine:

- esercizi sulle equazioni di secondo grado;

- esercizi sulle disequazioni di secondo grado.