Soluzioni
  • L'integrale di e^(2x) in dx è uguale a 1/2 e^(2x) più una costante arbitraria, e si può calcolare in due modi: procedendo col metodo di sostituzione oppure usando un trucco algebrico.

    \int e^{2x} dx=\frac{1}{2}e^{2x}+c,\ \ \ c \in \mathbb{R}

    Integrale di e^(2x) con trucco algebrico

    Dallo studio degli integrali fondamentali sappiamo che

    \int \left(e^{f(x)} \cdot f'(x)\right) dx = e^{f(x)}+c, \ c \in \mathbb{R}

    Il nostro obiettivo è quello di calcolare l'integrale indefinito

    \int e^{2x} dx

    la cui funzione integranda si presenta nella forma e^{f(x)}, con f(x)=2x.

    Se nell'integrale riusciamo a far comparire la derivata prima di f(x)=2x, lo possiamo calcolare utilizzando il relativo integrale notevole.

    La derivata di 2x è

    f'(x)=2

    quindi moltiplichiamo e dividiamo la funzione integranda per 2:

    \int e^{2x} dx = \int \left(e^{2x} \cdot \frac{2}{2}\right) dx = \frac{1}{2}\int \left(e^{2x} \cdot 2\right) dx

    Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la proprietà di linearità dell'integrale di Riemann, che ci ha permesso di portare la costante 1/2 fuori dal segno di integrale.

    Abbiamo ottenuto l'integrale notevole prima ricordato, ragion per cui

    \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}\int \left(e^{2x} \cdot 2\right) dx = \frac{1}{2} e^{2x}+c, \ c \in \mathbb{R}

    Integrale di e^(2x) col metodo di sostituzione

    Un altro metodo per calcolare il valore dell'integrale di e^(2x)

    \int e^{2x} dx

    consiste nel procedere a una integrazione per sostituzione ponendo

    t=2x

    Differenziando membro a membro si ricava

    dt = 2 dx

    da cui si ottiene

    dx=\frac{1}{2} dt

    Sostituiamo il tutto nell'integrale di partenza

    \int \underbrace{e^{2x}}_{e^t} \underbrace{dx}_{\frac{1}{2}dt} = \int \left(e^t \cdot \frac{1}{2}\right) dt = \frac{1}{2}\int e^{t} dt

    Ci siamo ricondotti all'integrale dell'esponenziale e possiamo concludere che

    \frac{1}{2} \int e^{t} dt = \frac{1}{2} e^t + c, \ c \in \mathbb{R}

    Dobbiamo però tornare alla variabile x. Avendo inizialmente posto t=2x, si ha che

    \frac{1}{2} e^t + c=\frac{1}{2}e^{2x}+c, \ c \in \mathbb{R}

    Abbiamo finito!

    \int e^{2x} dx=\frac{1}{2}e^{2x}+c,\ \ \ c \in \mathbb{R}

    Risposta di Galois
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