Binomio alla terza

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Cos'è un binomio alla terza e come si sviluppa? Vorrei sapere com'è fatto e, soprattutto, come si sviluppa un binomio elevato alla terza, magari con un occhio di riguardo ai segni dello sviluppo, che sono sempre stati il mio punto debole.

Se poteste anche proporre qualche esempio di sviluppo ve ne sarei immensamente grato.

Soluzione

Un binomio alla terza, detto anche cubo di binomio, è un prodotto notevole e si presenta come la potenza di un binomio con esponente 3. Più esplicitamente un binomio alla terza è un polinomio formato da due monomi non simili, e questo polinomio è elevato al cubo.

Cerchiamo di essere ancora più precisi e indichiamo con A e B due monomi non simili. Il binomio alla terza formato dai monomi A,B è

(A+B)^3

Sviluppo di un binomio alla terza

Lo sviluppo del binomio alla terza (A+B)^3 è un polinomio formato da quattro termini; più precisamente è un quadrinomio in cui compaiono:

- il cubo del primo monomio → A^3

- il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo → 3A^2B

- il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo → 3AB^2

- il cubo del secondo monomio → B^3

La formula dello sviluppo di un binomio alla terza è la seguente

(A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Negli esercizi capita spesso di dover sviluppare binomi alla terza, quindi vi consigliamo di tenere bene a mente la relativa formula. Essa vi permetterà di risparmiare molti passaggi negli esercizi di calcolo letterale (e non solo).

Osservazione sui segni dei termini dello sviluppo di un binomio alla terza

I segni dei termini dello sviluppo di un binomio alla terza discendono dall'applicazione della regola dei segni per le potenze. A tal proposito vi facciamo notare che la precedente formula è la più generale possibile e che permette di ricavare anche lo sviluppo del binomio differenza:

(A−B)^3 = A^3−3A^2B+3AB^2−B^3

Per ricavarla è sufficiente applicare la formula generale considerando come secondo monomio il termine (−B):

(A−B)^3 = (A+(−B))^3 = A^3+3A^2(−B)+3A(−B)^2+(−B)^3

Più in generale, nel calcolo dello sviluppo di un binomio, vi consigliamo di includere i segni nei monomi che li seguono e applicare la formula di conseguenza. In questo modo potrete limitarvi a ricordare una sola formula, sommare tutti i termini e ricavare il segno di ciascun termine dal calcolo delle potenze.

Esempi di sviluppo di un binomio alla terza

1) Scrivere lo sviluppo del binomio alla terza (2x+3y)^3.

Abbiamo un binomio formato dai monomi +2x e +3y.

- Il cubo del primo monomio è

(2x)^3 = 2^3·x^3 = 8x^3

- Il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo è

3·(2x)^2·(3y) = 3·4x^2·3y = 36x^2y

- Il triplo prodotto tra il primo monomio e il quadrato del secondo è

3·2x·(3y)^2 = 3·2x·9y^2 = 54xy^2

- Il cubo del secondo monomio è

(3y)^3 = 3^3·y^3 = 27 y^3

Pertanto

(2x+3y)^3 = 8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3

2) Qual è lo sviluppo del binomio alla terza (3a−2b)^3 ?

Calcoliamo a parte i vari termini che compaiono nella formula.

- Il cubo del primo termine è

(3a)^3 = 27a^3

- Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo è

3·(3a)^2·(−2b) = 3·9a^2·(−2b) = −54a^2b

- Il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo è

3·(3a)·(−2b)^2 = 3·3a·4b^2 = 36ab^2

- Il cubo del secondo termine è

(−2b)^3 = −8b^3

In definitiva:

(3a−2b)^3 = 27a^3−54a^2b+36ab^2−8b^3

3) Scrivere lo sviluppo del seguente binomio alla terza: (−x^2+y^3)^3.

Il binomio è formato dai monomi −x^2, y^3.

- Il cubo del primo monomio è

(−x^2)^3 = −x^6

- Il triplo prodotto tra il quadrato del primo monomio e il secondo è

3·(−x^2)^2·y^3 = 3·x^4·y^3 = 3x^4y^3

- Il triplo prodotto tra il primo monomio e il quadrato del secondo è

3·(−x^2)·(y^3)^2 = 3·(−x^2)·y^6 = −3x^2y^6

- Il cubo del terzo monomio è

(y^3)^3 = y^9

Possiamo concludere che

(−x^2+y^3)^3 = −x^6+3x^4y^3−3x^2y^6+y^9

4) Calcolare lo sviluppo del binomio alla terza (−t−1)^3.

Lasciamo a voi il compito di verificare che

(−t−1)^3 = −t^3−3t^2−3t−1

***

Se volete approfondire potete leggere la lezione dedicata ai prodotti notevoli. ;)

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