Soluzioni
  • Una proposizione matematica è un'espressione linguistica o simbolica per cui si può stabilire con certezza se è vera o falsa; spesso una proposizione matematica è anche detta enunciato.

    In modo equivalente, le proposizioni matematiche sono frasi di senso compiuto o espressioni simboliche a cui si può associare un valore di verità: vero o falso, indicati rispettivamente con le lettere V e F.

    Per chi fosse interessato, qui su YouMath è disponibile una guida su proposizioni logiche e connettivi per la suola elementare.

    Esempi di proposizioni matematiche

    - Il Sole è una stella;

    - 6 è un numero pari;

    - 8 è minore di 10;

    - l'ultima domenica di marzo si passa all'ora solare;

    - 12 è un multiplo di 5;

    sono tutte proposizioni matematiche, di cui le prime tre sono vere e le ultime due false.

    Al contrario:

    - Roma è una bella città;

    - quest'anno Luigi sarà promosso;

    - Sandra è una ragazza davvero simpatica;

    non sono proposizioni matematiche. La bellezza o la simpatia sono caratteristiche soggettive, che quindi sfociano nel campo dell'opinione: Roma può essere una bella città per alcuni, ma brutta per altri, così come Carla può risultare simpatica ad alcune persone sì e ad altre no.

    Quindi le frasi "Roma è una bella città" o "Sandra è una ragazza davvero simpatica" non possono essere considerate proposizioni matematiche.

    Lo stesso dicasi per la frase "quest'anno Luigi sarà promosso", che è solo una previsione, per cui non si può dire con certezza se è vera o se è falsa.

    Operazioni con le proposizioni e connettivi logici

    Seppur possa sembrare strano, si possono eseguire operazioni anche con le proposizioni: due o più proposizioni si possono comporre tra loro in modo da ottenere una nuova proposizione, detta proposizione composta. A tale scopo si usano congiunzioni e locuzioni come e, o, se ... allora ..., se e solo se.

    È inoltre possibile negare una singola proposizione usando l'avverbio non, detto operatore di negazione.

    Le precedenti locuzioni prendono il nome di connettivi logici e a ogni connettivo corrisponde un'operazione elementare su una o tra più proposizioni.

    Più precisamente, considerando due proposizioni date in un certo ordine, un connettivo logico (binario) permette di costruire una nuova proposizione che potrà essere vera oppure falsa. Allo stesso modo il connettivo logico (unario) non consente di costruire la negazione di una sola proposizione.

    Valore di verità della proposizione composta

    Dopo aver svolto un'operazione con una o più proposizioni possiamo stabilire se la proposizione composta è vera o falsa.

    Qui di seguito abbiamo riportato le varie operazioni tra proposizioni e le relative tavole di verità.

    Negazione: si dice negazione di una proposizione p, e si indica con \overline{p}, quella proposizione che è vera se p è falsa, e che è falsa se p è vera.

    La tavola di verità che definisce l'operazione di negazione è la seguente:

    \begin{array}{|c|c|}\cline{1-2}p&\overline{p} \\ \cline{1-2} V & F \\ \cline{1-2}F&V \\ \cline{1-2} \end{array}

    Congiunzione: la congiunzione è un'operazione che a due proposizioni p,q associa una terza proposizione p \wedge q, la quale è vera soltanto nel caso in cui le proposizioni p \mbox{ e } q sono entrambe vere, mentre è falsa in ogni altro caso.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3}p & q & p\wedge q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3}V & F & F \\ \cline{1-3} F & V & F \\ \cline{1-3} F & F & F \\ \cline{1-3} \end{array}

    Disgiunzione inclusiva: si definisce disgiunzione inclusiva tra due proposizioni p,q la proposizione composta che è vera se almeno una delle due proposizioni è vera, falsa se entrambe le proposizioni sono false.

    La disgiunzione inclusiva si indica col simbolo p \vee q e si legge p \mbox{ o } q.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3}p & q & p\vee q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3}V & F & V \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & F \\ \cline{1-3} \end{array}

    Disgiunzione esclusiva: date due proposizioni p,q la disgiunzione esclusiva restituisce una terza proposizione che è falsa se entrambe le proposizioni sono vere o entrambe le proposizioni sono false, mentre è vera negli altri due casi. La disgiunzione esclusiva si indica con p \overset{\cdot}{\vee} q e si legge p \mbox{ xor } q.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3}p & q & p \overset{\cdot}{\vee} q \\ \cline{1-3} V & V & F \\ \cline{1-3}V & F & V \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & F \\ \cline{1-3} \end{array}

    Implicazione materiale: l'implicazione materiale è quell'operazione che a due proposizioni p,q associa una terza proposizione che è falsa se la prima proposizione è vera e la seconda è falsa, mentre è vera in tutti gli altri casi; l'implicazione materiale si dice anche condizionale, si indica con p \rightarrow q e si legge p implica q.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3}p & q & p \rightarrow q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3}V & F & F \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & V \\ \cline{1-3} \end{array}

    Coimplicazione materiale: a due proposizioni p \mbox{ e } q la coimplicazione materiale associa una terza proposizione che è vera se le due proposizioni di partenza hanno lo stesso valore di verità, falsa in caso contrario; la coimplicazione materiale si dice anche bicondizionale e si indica con p \leftrightarrow q (p se e solo se q).

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3}p & q & p \leftrightarrow q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3}V & F & F \\ \cline{1-3} F & V & F \\ \cline{1-3} F & F & V \\ \cline{1-3} \end{array}

    Esempi sulle operazioni tra proposizioni

    1) Consideriamo le seguenti proposizioni

    p: 5 è un numero primo.

    q: il trapezio è un poligono regolare.

    Qual è il risultato delle operazioni p \wedge q, \ \ p \vee q, \ \ p \leftrightarrow q?

    p è una proposizione vera, mentre q è una proposizione falsa. Dalle relative tavole di verità delle operazioni di congiunzione, disgiunzione inclusiva e coimplicazione materiale si ricava che:

    p \wedge q è falsa.

    p \vee q è vera.

    p \leftrightarrow q è falsa.

    2) Consideriamo le seguenti proposizioni

    p: 7 è un multiplo di 2.

    q: Milano è una città della Francia.

    r: un rettangolo ha quattro angoli retti.

    Trovare il valore di verità della proposizione (p \overset{\cdot}{\vee} q) \rightarrow r.

    p,q sono due proposizioni false, per cui la disgiunzione esclusiva p \overset{\cdot}{\vee} q è vera.

    r è una proposizione vera, quindi

    \underbrace{(p \overset{\cdot}{\vee} q)}_{V} \rightarrow \underbrace{r}_{V}

    è vera.

    3) Date le seguenti proposizioni

    \\ p: \ 3+2=5 \\ \\ q: \ 4-3=1 \\ \\ r: \ 6 \cdot 2 = 10

    verificare che la proposizione (\overline{p} \leftrightarrow q) \wedge (r \vee p) è vera.

    Lasciato al lettore per esercizio. ;)

    Proprietà delle operazioni tra proposizioni

    Le operazioni tra proposizioni godono di numerose proprietà che possono esprimere mediante uguaglianze logiche e dimostrare costruendo le relative tavole di verità.

    Proprietà della complementarietà: \overline{\overline{p}}=p

    Proprietà di idempotenza della congiunzione: p \wedge p = p

    Proprietà di idempotenza della disgiunzione inclusiva: p \vee p = p

    Proprietà commutativa della congiunzione: p \wedge q = q \wedge p

    Proprietà commutativa della disgiunzione inclusiva: p \vee q = q \vee p

    Proprietà commutativa della disgiunzione esclusiva: p \overset{\cdot}{\vee} q = q \overset{\cdot}{\vee} p

    Proprietà commutativa della coimplicazione materiale p \leftrightarrow q = q \leftrightarrow p

    Proprietà associativa della congiunzione: (p \wedge q) \wedge r = p \wedge (q \wedge r)

    Proprietà associativa della disgiunzione inclusiva: (p \vee q) \vee r = p \wedge (q \vee r)

    Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione inclusiva: p \wedge (q \vee r) = (p \wedge q) \vee (p \wedge r)

    Proprietà distributiva della disgiunzione inclusiva rispetto alla congiunzione: p \vee (q \wedge r) = (p \vee q) \wedge (p \vee r)

    Leggi di De Morgan: \overline{p \wedge q} = \overline{p} \vee \overline{q} \ \ ; \ \ \overline{p \vee q} = \overline{p} \wedge \overline{q}

    Leggi di assorbimento: p \vee (p \wedge q) = p \ \ ; \ \ p \wedge (p \vee q) = p

    ***

    Concludiamo consigliandovi la lettura dei seguenti approfondimenti:

    - teorema;

    - assioma;

    - postulato.

    Risposta di Galois
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SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
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