Enunciato

In Matematica un enunciato è una qualsiasi espressione linguistica o simbolica per cui si può stabilire con certezza se è vera oppure se è falsa; spesso il termine enunciato viene usato come sinonimo di proposizione.

A ciascun enunciato si può associare un valore di verità che deve essere oggettivo. I due valori di verità sono vero o falso e si indicano rispettivamente con le lettere V e F.

Esempi di enunciato

La Luna è un satellite.

Il quadrato è un poligono.

I numeri pari sono infiniti.

Parigi è la capitale della Germania.

13 è un multiplo di 5.

Ciascuna delle frasi proposte fornisce un esempio di enunciato, infatti a ciascuna di esse si può associare un valore di verità: i primi tre sono enunciati veri, mentre gli ultimi due sono enunciati falsi.

Al contrario, sono esempi di frasi che non sono enunciati:

- questo documentario è molto interessante;

- il blu è un bel colore;

- asquimai tiludiri velocaticamente;

in quanto non possiamo associare un valore di verità ad alcuna delle frasi proposte. Un documentario può essere interessante per alcuni, ma non per altri; affermare che il blu è un bel colore equivale ad esprimere un'opinione personale e non una verità assoluta; infine, l'ultima frase non ha senso compiuto.

Enunciati e connettivi logici

È possibile comporre due o più enunciati tra loro attraverso congiunzioni e locuzioni come: e, o, se... allora..., se e solo se; è inoltre possibile considerare la negazione di un enunciato anteponendo ad esso l'avverbio non.

Sono esempi di enunciati composti:

- 12 è divisibile per 3 e 12 è divisibile per 2;

- 7 è maggiore di 3 o Roma è la capitale dell'Italia;

- se oggi è venerdì allora domani sarà sabato;

- 5 è un numero primo se e solo se 5 è divisibile solo per 1 e per se stesso,

- 10 non è un numero naturale,

Le locuzioni e, o, se.. allora.., se e solo se e l'avverbio non prendono il nome di connettivi logici e a ciascuno di essi è associato un simbolo.

si legge "e" ed è il connettivo logico di congiunzione: l'enunciato composto è vero soltanto se entrambi gli enunciati che lo compongono sono veri;

si legge "o" ed è il connettivo logico di disgiunzione inclusiva: è sufficiente che uno dei due enunciati sia vero affinché l'enunciato composto è vero;

si legge "xor" ed è il connettivo logico di disgiunzione esclusiva: l'enunciato composto è vero soltanto se i due enunciati che lo compongono hanno valori di verità opposti;

si legge "implica" ed è il connettivo logico di implicazione: l'enunciato composto è falso soltanto se il primo enunciato è vero e il secondo è falso;

si legge "se e solo se" ed è il connettivo logico di doppia implicazione (o coimplicazione): l'enunciato composto è vero soltanto se il primo enunciato implica il secondo e il secondo enunciato implica il primo.

si legge "non p" ed è la negazione dell'enunciato : la negazione di un enunciato ha valore di verità opposto rispetto all'enunciato stesso.

A partire da due o più enunciati composti è possibile comporli tra loro utilizzando nuovamente i connettivi logici.

Valore di verità degli enunciati composti: tavole di verità dei connettivi logici

La logica degli enunciati ha lo scopo di studiare il valore di verità di due o più enunciati composti tra loro mediante i connettivi logici. In particolare a ogni connettivo logico è associata una tavola di verità, ossia una tabella in cui sono riportati:

- i valori di verità delle proposizioni che formano l'enunciato composto;

- il valore di verità finale dell'enunciato composto.

Qui di seguito abbiamo riportato le tavole di verità di ogni connettivo logico, dove con sono stati indicati due qualsiasi enunciati.

Se ad una prima lettura vi risultano incomprensibili non abbiate paura! Leggendo i successivi esempi risulterà tutto più chiaro. ;)

Esempi sul valore di verità degli enunciati composti

1) Consideriamo i due enunciati:

il rettangolo ha quattro angoli retti;

il triangolo ha cinque lati.

Qual è il valore di verità degli enunciati ?

Anzitutto osserviamo che è un enunciato vero, mentre è un enunciato falso.

Per scoprire il valore di verità dell'enunciato composto consultiamo la relativa tavola di verità.

Poiché è vero (V) e è falso (F) prendiamo in esame la seconda riga della tavola di verità del connettivo logico , secondo cui è falso.

Facendo affidamento a ciascuna delle tavole di verità dei vari connettivi logici possiamo concludere che

2) Siano dati gli enunciati:

21 è un multiplo di 7;

6 è un numero primo;

l'addizione gode della proprietà commutativa.

Trovare il valore di verità dell'enunciato

Anzitutto osserviamo che sono due enunciati veri, mentre è falso.

Ne consegue che è falso.

Dalla tabella di verità del connettivo logico , segue che è falso.

Dalla tavola di verità del connettivo logico si deduce che è falso.

In definitiva, dalla tabella di verità del connettivo logico concludiamo che

è falso.

Enunciato di un teorema

In Matematica la parola enunciato viene anche usata per specificare una delle due parti che compongono un teorema, un lemma o un corollario.

Tipicamente l'enunciato di un teorema è un enunciato composto mediante un connettivo logico: la tipologia di enunciato più ricorrente in Matematica è formulata mediante il connettivo logico di implicazione

vale a dire nella forma

se ... allora ...

e vengono rispettivamente detti ipotesi e tesi:

- con ipotesi ci si riferisce a una condizione espressa sotto forma di enunciato (nel senso della spiegazione precedente) che viene assunto con valore di verità V. In altri termini, le ipotesi sono le condizioni di partenza e sono proposizioni assunte come vere;

- la tesi è un ulteriore enunciato (nel senso della spiegazione precedente) che esprime a sua volta una determinata condizione o proprietà.

Il procedimento con cui si verifica la validità dell'enunciato di un teorema è detto dimostrazione e prevede di mostrare che la validità delle ipotesi implica la validità della tesi:

- se si dimostra che la tesi è vera, allora l'enunciato del teorema è vero ed è dimostrato. In tal caso si dice che l'ipotesi è condizione sufficiente per la tesi , e che la tesi è condizione necessaria per ;

- se si dimostra che la tesi è falsa, allora l'enunciato del teorema è falso ed è confutato.

È inoltre possibile scrivere enunciati di teoremi in forme più complesse, ad esempio mediante il simbolo di doppia implicazione logica: . In tale eventualità l'enunciato del teorema condensa le implicazioni e , e si dice che e sono l'una condizione necessaria e sufficiente per l'altra.