Soluzioni
  • In Matematica un enunciato è una qualsiasi espressione linguistica o simbolica per cui si può stabilire con certezza se è vera oppure se è falsa; spesso il termine enunciato viene usato come sinonimo di proposizione.

    A ciascun enunciato si può associare un valore di verità che deve essere oggettivo. I due valori di verità sono vero o falso e si indicano rispettivamente con le lettere V e F.

    Esempi di enunciato

    La Luna è un satellite.

    Il quadrato è un poligono.

    I numeri pari sono infiniti.

    Parigi è la capitale della Germania.

    13 è un multiplo di 5.

    Ciascuna delle frasi proposte fornisce un esempio di enunciato, infatti a ciascuna di esse si può associare un valore di verità: i primi tre sono enunciati veri, mentre gli ultimi due sono enunciati falsi.

    Al contrario, sono esempi di frasi che non sono enunciati:

    - questo documentario è molto interessante;

    - il blu è un bel colore;

    - asquimai tiludiri velocaticamente;

    in quanto non possiamo associare un valore di verità ad alcuna delle frasi proposte. Un documentario può essere interessante per alcuni, ma non per altri; affermare che il blu è un bel colore equivale ad esprimere un'opinione personale e non una verità assoluta; infine, l'ultima frase non ha senso compiuto.

    Enunciati e connettivi logici

    È possibile comporre due o più enunciati tra loro attraverso congiunzioni e locuzioni come: e, o, se... allora..., se e solo se; è inoltre possibile considerare la negazione di un enunciato anteponendo ad esso l'avverbio non.

    Sono esempi di enunciati composti:

    - 12 è divisibile per 3 e 12 è divisibile per 2;

    - 7 è maggiore di 3 o Roma è la capitale dell'Italia;

    - se oggi è venerdì allora domani sarà sabato;

    - 5 è un numero primo se e solo se 5 è divisibile solo per 1 e per se stesso,

    - 10 non è un numero naturale,

    Le locuzioni e, o, se.. allora.., se e solo se e l'avverbio non prendono il nome di connettivi logici e a ciascuno di essi è associato un simbolo.

    \wedge si legge "e" ed è il connettivo logico di congiunzione: l'enunciato composto è vero soltanto se entrambi gli enunciati che lo compongono sono veri;

    \vee si legge "o" ed è il connettivo logico di disgiunzione inclusiva: è sufficiente che uno dei due enunciati sia vero affinché l'enunciato composto è vero;

    \overset{\cdot}{\vee} si legge "xor" ed è il connettivo logico di disgiunzione esclusiva: l'enunciato composto è vero soltanto se i due enunciati che lo compongono hanno valori di verità opposti;

    \rightarrow si legge "implica" ed è il connettivo logico di implicazione: l'enunciato composto è falso soltanto se il primo enunciato è vero e il secondo è falso;

    \leftrightarrow si legge "se e solo se" ed è il connettivo logico di doppia implicazione (o coimplicazione): l'enunciato composto è vero soltanto se il primo enunciato implica il secondo e il secondo enunciato implica il primo.

    \overline{p} si legge "non p" ed è la negazione dell'enunciato p: la negazione di un enunciato ha valore di verità opposto rispetto all'enunciato stesso.

    A partire da due o più enunciati composti è possibile comporli tra loro utilizzando nuovamente i connettivi logici.

    Valore di verità degli enunciati composti: tavole di verità dei connettivi logici

    La logica degli enunciati ha lo scopo di studiare il valore di verità di due o più enunciati composti tra loro mediante i connettivi logici. In particolare a ogni connettivo logico è associata una tavola di verità, ossia una tabella in cui sono riportati:

    - i valori di verità delle proposizioni che formano l'enunciato composto;

    - il valore di verità finale dell'enunciato composto.

    Qui di seguito abbiamo riportato le tavole di verità di ogni connettivo logico, dove con p \mbox{ e } q sono stati indicati due qualsiasi enunciati.

    Se ad una prima lettura vi risultano incomprensibili non abbiate paura! Leggendo i successivi esempi risulterà tutto più chiaro. ;)

     

    Enunciato - tavole di verità

     

    Esempi sul valore di verità degli enunciati composti

    1) Consideriamo i due enunciati:

    p: il rettangolo ha quattro angoli retti;

    q: il triangolo ha cinque lati.

    Qual è il valore di verità degli enunciati p \wedge q, \ \ p \vee q, \ \ p \overset{\cdot}{\vee} q, \ \ p \rightarrow q, \ \ p \leftrightarrow q?

    Anzitutto osserviamo che p è un enunciato vero, mentre q è un enunciato falso.

    Per scoprire il valore di verità dell'enunciato composto p \wedge q consultiamo la relativa tavola di verità.

    Poiché p è vero (V) e q è falso (F) prendiamo in esame la seconda riga della tavola di verità del connettivo logico \wedge, secondo cui p \wedge q è falso.

    Facendo affidamento a ciascuna delle tavole di verità dei vari connettivi logici possiamo concludere che

    \\ p \vee q : \ V \\ \\  p \overset{\cdot}{\vee} q : \ V \\ \\ p \rightarrow q :  \ F \\ \\ p \leftrightarrow q : \ F

     

    2) Siano dati gli enunciati:

    p: 21 è un multiplo di 7;

    q: 6 è un numero primo;

    r: l'addizione gode della proprietà commutativa.

    Trovare il valore di verità dell'enunciato (\overline{p} \wedge q) \vee (r \rightarrow q)

    Anzitutto osserviamo che p,r sono due enunciati veri, mentre q è falso.

    Ne consegue che \overline{p} è falso.

    Dalla tabella di verità del connettivo logico \wedge, segue che \overline{p} \wedge q è falso.

    Dalla tavola di verità del connettivo logico \rightarrow si deduce che r \rightarrow q è falso.

    In definitiva, dalla tabella di verità del connettivo logico \vee concludiamo che

    \underbrace{(\overline{p} \wedge q)}_{F} \vee \underbrace{(r \rightarrow q)}_{F}

    è falso.

    Enunciato di un teorema

    In Matematica la parola enunciato viene anche usata per specificare una delle due parti che compongono un teorema, un lemma o un corollario.

    Tipicamente l'enunciato di un teorema è un enunciato composto mediante un connettivo logico: la tipologia di enunciato più ricorrente in Matematica è formulata mediante il connettivo logico di implicazione \rightarrow

    p\Rightarrow q

    vale a dire nella forma

    se ... allora ...

    p e q vengono rispettivamente detti ipotesi e tesi:

    - con ipotesi ci si riferisce a una condizione espressa sotto forma di enunciato (nel senso della spiegazione precedente) che viene assunto con valore di verità V. In altri termini, le ipotesi sono le condizioni di partenza e sono proposizioni assunte come vere;

    - la tesi è un ulteriore enunciato (nel senso della spiegazione precedente) che esprime a sua volta una determinata condizione o proprietà.

    Il procedimento con cui si verifica la validità dell'enunciato di un teorema (p\Rightarrow q) è detto dimostrazione e prevede di mostrare che la validità delle ipotesi implica la validità della tesi:

    - se si dimostra che la tesi è vera, allora l'enunciato del teorema è vero ed è dimostrato. In tal caso si dice che l'ipotesi p è condizione sufficiente per la tesi q, e che la tesi q è condizione necessaria per p;

    - se si dimostra che la tesi è falsa, allora l'enunciato del teorema è falso ed è confutato.

    È inoltre possibile scrivere enunciati di teoremi in forme più complesse, ad esempio mediante il simbolo di doppia implicazione logica: p \Leftrightarrow q. In tale eventualità l'enunciato del teorema condensa le implicazioni p\Rightarrow q e q\Rightarrow p, e si dice che p e q sono l'una condizione necessaria e sufficiente per l'altra.

    Risposta di Galois
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