Lemma

Un lemma è un teorema necessario per la dimostrazione di un teorema più significativo e che viene formulato e dimostrato con lo scopo di semplificare e rendere più ordinata la dimostrazione del teorema di riferimento.

Possiamo definire un lemma come un costrutto matematico costituito da un enunciato e una dimostrazione preparatoria, utilizzato nella dimostrazione di un teorema successivo. In altri termini un lemma è un teorema formulato appositamente per agevolare la dimostrazione di un teorema più importante e più articolato. 

La dimostrazione di un teorema consiste nel ricavare, mediante un opportuno ragionamento deduttivo, la tesi partendo dalle ipotesi. A volte si può ricadere in un gran numero di implicazioni logiche, alcune delle quali di carattere tecnico, che rendono difficile e articolata la lettura della dimostrazione.

In questi casi si antepongono al teorema uno o più lemmi in cui vengono enunciate e dimostrate le implicazioni logiche di carattere tecnico presenti nella dimostrazione del teorema "principale".

In questo modo, quando si scrive la dimostrazione del teorema principale, si richiamano i lemmi precedentemente dimostrati e la dimostrazione scorre molto più velocemente.

Esempio di lemma

Per affrontare teoremi le cui dimostrazioni sono talmente articolate da richiedere l'introduzione di lemmi preliminari bisogna addentrarsi nel mondo universitario.

Ne è un esempio il teorema sulla condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di una funzione su un intervallo, di cui trovate enunciato e dimostrazione nella nostra lezione sulle funzioni integrabili secondo Riemann.

Solitamente, prima di affrontare la dimostrazione del teorema, si introduce un lemma sulla disuguaglianza fondamentale delle somme di Riemann, che abbiamo enunciato e dimostrato nella lezione sull'integrale definito secondo Riemann.

Differenza tra lemma, corollario e teorema

Lemma, corollario e teorema sono costrutti matematici costituiti da un enunciato e una dimostrazione. La differenza tra questi tre tipi di proposizioni è che:

- il teorema è un risultato fondamentale e indispensabile nella teoria che si sta studiando;

- il lemma è un risultato preparatorio che ha lo scopo di semplificare la dimostrazione di un teorema;

- il corollario è una conseguenza immediata di un teorema, tanto che spesso la dimostrazione viene omessa.

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Concludiamo lasciandovi qualche interessante spunto di approfondimento:

- cos'è un assioma;

- cos'è un postulato;

- cos'è un principio.