Operazioni matematiche

Un'operazione matematica in generale è una qualsiasi associazione che mette in relazione più elementi di uno o più insiemi con un altro elemento di un insieme, tale da soddisfare determinate condizioni stabilite dall'operazione considerata.

Se gli elementi di partenza e l'elemento di arrivo appartengono allo stesso insieme, l'operazione è detta interna; in tutti gli altri casi l'operazione si dice esterna.

A questo proposito è bene specificare che, nel linguaggio matematico di base e nel gergo comune, con operazioni matematiche ci si riferisce a determinate e specifiche operazioni binarie interne, che a due elementi di un insieme associano un altro elemento dello stesso insieme.

Nel contesto del linguaggio di base possiamo dare una definizione formale: considerato un insieme , una operazione matematica è un'associazione dal prodotto cartesiano ad , ossia tale da associare a ogni coppia ordinata di elementi di uno e un solo elemento di .

In simboli:

In termini più generali (dunque non nel linguaggio base) si può considerare come operazione matematica una qualsiasi operazione n-aria interna o esterna, ossia qualsiasi operazione che a elementi di uno o più insiemi associa un elemento di un insieme, dove è un qualsiasi numero intero positivo. Nel caso si parla di operazioni unarie.

Nel prosieguo della spiegazione ci concentriamo sulle operazioni matematiche secondo il linguaggio comune. ;)

Esempio di operazione matematica

Per fissare le idee supponiamo che l'insieme coincida con l'insieme N dei numeri naturali e consideriamo l'operazione di addizione.

L'addizione tra numeri naturali è una associazione che a una coppia ordinata di numeri naturali associa un terzo numero naturale, che è la somma tra e .

Quali sono le operazioni matematiche

Le operazioni matematiche considerate fondamentali nel gergo comune sono quattro.

1) Addizione: si indica col simbolo +.

A due elementi, detti addendi, associa la loro somma.

Se i due elementi sono numeri, quale che sia l'insieme numerico considerato, l'addizione è sempre un'operazione interna.

2) Sottrazione: si indica col simbolo -.

Associa a due elementi la loro differenza. In una sottrazione il primo termine si dice minuendo e il secondo sottraendo.

La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.

Con riferimento ai numeri, è un'operazione interna all'insieme Z dei numeri interi relativi, all'insieme Q dei numeri razionali e all'insieme R dei numeri reali, mentre non è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali.

3) Moltiplicazione: si indica col simbolo ×, o più correttamente con il simbolo · .

A due elementi, detti fattori, associa il loro prodotto.

Se ragioniamo nel caso dei numeri, la moltiplicazione è un'operazione interna a qualsiasi insieme numerico esattamente come l'addizione.

4) Divisione: viene indicata col simbolo :, o eventualmente con il simbolo / .

A due elementi, detti dividendo e divisore, fa corrispondere il loro quoziente.

La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.

Con riferimento ai numeri è un'operazione interna all'insieme dei numeri razionali e all'insieme dei numeri reali, mentre non è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali e a quello dei numeri interi relativi.

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Per una pagina di riepilogo sulle proprietà delle operazioni fondamentali potete consultare la pagina del link.

Operazioni matematiche derivate

Oltre alle quattro operazioni matematiche fondamentali ne esistono molte altre, dette operazioni matematiche derivate. Tra di esse le più famose sono le potenze e l'estrazione di radice.

- L'elevamento a potenza è un'operazione che a due numeri associa quel numero che si ottiene moltiplicando il numero per se stesso volte.

I numeri sono detti, rispettivamente, base ed esponente della potenza.

- L'estrazione di radice è quell'operazione che ai numeri associa, se esiste, quel numero che elevato ad restituisce il numero .

Il numero è detto indice della radice, mentre il numero prende il nome di radicando.

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Le operazioni matematiche elencate finora sono quelle che compaiono nelle espressioni matematiche, dove è fondamentale eseguire le varie operazioni in un certo ordine. Se volete approfondire questo argomento potete leggere la nostra lezione sull'ordine delle operazioni.

Operazioni aritmetiche e operazioni algebriche

Le operazioni matematiche si dividono in operazioni aritmetiche e operazioni algebriche:

- le operazioni aritmetiche sono quelle che riguardano i numeri;

- le operazioni algebriche sono quelle che oltre ai numeri coinvolgono le lettere.

Tra le operazioni aritmetiche ricordiamo, ad esempio:

- le operazioni tra numeri naturali;

- le operazioni tra frazioni;

- le operazioni con i numeri decimali.

Tra le operazioni algebriche menzioniamo invece:

- le operazioni tra monomi;

- le operazioni tra polinomi.

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In Matematica, se si mettono da parte gli insiemi numerici e si considerano altri insiemi di definizione, si possono definire moltissime altre operazioni... Praticamente un'infinità. ;)

Ad esempio, la composizione tra funzioni è un'operazione tra funzioni, così come il prodotto per uno scalare è una delle operazioni tra vettori o delle operazioni tra matrici.