Soluzioni
  • Un'operazione matematica è una funzione che a due elementi dello stesso insieme A associa un altro elemento dell'insieme A che soddisfa determinate condizioni, stabilite dall'operazione che si sta eseguendo.

    Formalmente, considerato un insieme A, le operazioni matematiche sono funzioni dal prodotto cartesiano A \times A in A, ossia tali da associare a una coppia ordinata di elementi dell'insieme A un elemento di A.

    In simboli:

    \\ f:A \times A \to A \\ \\ (a,b) \mapsto f(a,b)

    dove f indica una qualsiasi operazione matematica.

    Esempio di operazione matematica

    Per fissare le idee, supponiamo che l'insieme A coincida con l'insieme N dei numeri naturali e consideriamo l'operazione di addizione.

    L'addizione tra numeri naturali è una funzione che a una coppia ordinata di numeri naturali a,b \in \mathbb{N} associa un terzo numero naturale, che è la somma tra a \mbox{ e } b.

    \\ +: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ \\ (a,b) \mapsto a+b

    Quali sono le operazioni matematiche

    Le operazioni matematiche fondamentali sono quattro:

    Addizione: si indica col simbolo + e a due numeri, detti addendi, associa la loro somma.

    Qualsiasi sia l'insieme numerico considerato l'addizione è sempre un'operazione interna.

    Sottrazione: si indica col simbolo - e associa a due numeri la loro differenza.

    In una sottrazione il primo termine si dice minuendo e il secondo sottraendo. La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione ed è un'operazione interna all'insieme Z dei numeri interi relativi, all'insieme Q dei numeri razionali e all'insieme R dei numeri reali, mentre non è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali.

    Moltiplicazione: si indica col simbolo · e a due numeri, detti fattori, associa il loro prodotto.

    Come l'addizione, anche la moltiplicazione è un'operazione interna a qualsiasi insieme numerico.

    Divisione: viene indicata col simbolo : e a due numeri, detti dividendo e divisore, fa corrispondere il loro quoziente.

    La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione ed è un'operazione interna all'insieme dei numeri razionali e all'insieme dei numeri reali, mentre non è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali e a quello dei numeri interi relativi.

    ***

    Per una pagina di riepilogo sulle proprietà delle operazioni fondamentali potete consultare la pagina del link.

    Operazioni matematiche derivate

    Oltre alle quattro operazioni matematiche fondamentali ne esistono altre, dette operazioni matematiche derivate. Tra esse le più famose sono le potenze e l'estrazione di radice.

    - La potenza è un'operazione che a due numeri a \mbox{ e } n associa quel numero che si ottiene moltiplicando il numero a per se stesso n volte.

    a^n=\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \mbox{ volte}}

    I numeri a \mbox{ e } n si dicono, rispettivamente, base ed esponente della potenza.

    - L'estrazione di radice è quell'operazione che ai numeri a \mbox{ e } n associa, se esiste, quel numero b che elevato ad n restituisce il numero a.

    \sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a

    Il numero n è detto indice della radice, mentre il numero a prende il nome di radicando.

    ***

    Le operazioni matematiche elencate finora sono quelle che compaiono nelle espressioni matematiche, dove è fondamentale eseguire le varie operazioni in un certo ordine. Se volete approfondire questo argomento potete leggere la nostra lezione sull'ordine delle operazioni.

    Operazioni aritmetiche e operazioni algebriche

    Le operazioni matematiche si dividono in operazioni aritmetiche e operazioni algebriche:

    - le operazioni aritmetiche sono quelle che riguardano i numeri;

    - le operazioni algebriche sono quelle che oltre ai numeri coinvolgono le lettere.

    Tra le operazioni aritmetiche ricordiamo, ad esempio:

    - le operazioni tra numeri naturali;

    - le operazioni tra frazioni;

    - le operazioni con i numeri decimali.

    Tra le operazioni algebriche menzioniamo invece:

    - le operazioni tra monomi;

    - le operazioni tra polinomi.

    ***

    In Matematica, se si mettono da parte gli insiemi numerici e si considerano altri insieme di definizione, si possono definire moltissime altre operazioni.

    Ad esempio, la composizione tra funzioni è un'operazione tra funzioni, così come il prodotto per uno scalare è una delle operazioni tra vettori o delle operazioni tra matrici.

    Risposta di Galois
 
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