Soluzioni
  • Un corollario è un teorema che è conseguenza immediata di un teorema fondamentale e si ottiene come caso particolare dello stesso, ossia riducendo o particolarizzando le ipotesi del teorema da cui discende.

    A volte può succedere che da un teorema ne seguano altri, le cui dimostrazioni sono talmente immediate da essere omessa o solamente accennate: questi teoremi sono detti corollari. Ogni corollario è quindi associato a un proprio teorema di riferimento.

    Spesso è piuttosto soggettivo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un altro; per questo motivo la distinzione tra teoremi e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.

    Esempi di corollario

    1) Una volta dimostrato il teorema espresso dal seguente enunciato:

    in un triangolo all'angolo maggiore si oppone il lato maggiore,

    se ne può dedurre il seguente corollario:

    l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore di ciascuno dei cateti.

    La dimostrazione del corollario è conseguenza immediata del suo teorema di riferimento, infatti basta osservare che in un triangolo rettangolo l'angolo retto è maggiore degli altri due angoli, quindi l'ipotenusa (che è il lato opposto all'angolo retto) è il lato maggiore.

    2) Un famoso teorema della Geometria Euclidea afferma che:

    un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali.

    La seguente proposizione può essere considerata un suo corollario:

    un triangolo equilatero ha tutti gli angoli congruenti.

    A tal proposito basta osservare che un triangolo equilatero di vertici A, \ B, \ C è isoscele di base AB, quindi per il relativo teorema di riferimento si ha che \widehat{A}=\widehat{B}.

    Inoltre, avendo tutti i lati congruenti, il triangolo equilatero è isoscele anche di base BC, quindi \widehat{B}=\widehat{C}.

    Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza possiamo concludere che \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}.

    3) Dal teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale discendono tre corollari:

    - se due rette sono parallele, ogni retta perpendicolare all'una è perpendicolare anche all'altra;

    - due rette perpendicolari a una terza sono parallele;

    - le perpendicolari a due rette incidenti sono anch'esse incidenti.

    4) Un corollario del teorema di Talete stabilisce che:

    in un triangolo qualsiasi, una retta parallela a un lato qualsiasi taglia proporzionalmente gli altri due lati.

    5) Corollario del teorema fondamentale dell'Algebra: ogni polinomio a coefficienti complessi di grado n ammette in \mathbb{C} esattamente n radici, ciascuna contata con la relativa molteplicità.

    ***

    Invitiamo chiunque volesse approfondire a leggere:

    - cos'è un lemma;

    - cos'è un assioma;

    - cos'è un postulato.

    Risposta di Galois
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