Corollario

Un corollario è un teorema che è conseguenza immediata di un teorema fondamentale e si ottiene come caso particolare dello stesso, ossia riducendo o particolarizzando le ipotesi del teorema da cui discende.

A volte può succedere che da un teorema ne seguano altri, le cui dimostrazioni sono talmente immediate da essere omesse o solamente accennate: questi teoremi sono detti corollari. Ogni corollario è quindi associato a un proprio teorema di riferimento.

Spesso è piuttosto soggettivo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un altro; per questo motivo la distinzione tra teoremi e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.

Esempi di corollario

1) Una volta dimostrato il teorema espresso dal seguente enunciato:

in un triangolo all'angolo maggiore si oppone il lato maggiore,

se ne può dedurre il seguente corollario:

l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore di ciascuno dei cateti.

La dimostrazione del corollario è conseguenza immediata del suo teorema di riferimento, infatti basta osservare che in un triangolo rettangolo l'angolo retto è maggiore degli altri due angoli, quindi l'ipotenusa (che è il lato opposto all'angolo retto) è il lato maggiore.

2) Un famoso teorema della Geometria Euclidea afferma che:

un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali.

La seguente proposizione può essere considerata un suo corollario:

un triangolo equilatero ha tutti gli angoli congruenti.

A tal proposito basta osservare che un triangolo equilatero di vertici è isoscele di base , quindi per il relativo teorema di riferimento si ha che .

Inoltre, avendo tutti i lati congruenti, il triangolo equilatero è isoscele anche di base , quindi .

Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza possiamo concludere che .

3) Dal teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale discendono tre corollari:

- se due rette sono parallele, ogni retta perpendicolare all'una è perpendicolare anche all'altra;

- due rette perpendicolari a una terza sono parallele;

- le perpendicolari a due rette incidenti sono anch'esse incidenti.

4) Un corollario del teorema di Talete stabilisce che:

in un triangolo qualsiasi, una retta parallela a un lato qualsiasi taglia proporzionalmente gli altri due lati.

5) Corollario del teorema fondamentale dell'Algebra: ogni polinomio a coefficienti complessi di grado ammette in esattamente radici, ciascuna contata con la relativa molteplicità.

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Invitiamo chiunque volesse approfondire a leggere:

- cos'è un lemma;

- cos'è un assioma;

- cos'è un postulato.