Teorema

Un teorema è un costrutto matematico che viene espresso mediante una proposizione, detta enunciato, e dimostrata mediante un ragionamento logico, detto dimostrazione; possiamo anche definire un teorema come un'implicazione logica tra due predicati, il primo dei quali si dice ipotesi e il secondo tesi.

Parti di un teorema

Un qualsiasi teorema è formato da due parti:

- l'enunciato, ossia la proposizione che esprime l'implicazione logica;

- la dimostrazione, ossia il processo deduttivo che permette di ricavare il valore di verità dell'enunciato.

A sua volta, l'enunciato di un teorema è costituito da ipotesi e tesi:

- le ipotesi sono le condizioni e/o le proprietà su cui si fonda il ragionamento, e sono assunte come vere;

- la tesi è la condizione e/o la proprietà che discende dalle ipotesi.

Indicando con le ipotesi e con la tesi, per dimostrare un teorema si deve provare che vale l'implicazione

Quando un teorema è stato dimostrato, si dice che è condizione sufficiente per il verificarsi di e che è condizione necessaria per il verificarsi di .

Osservazione (differenza tra teorema ed enunciato del teorema)

Un errore comune è quello di confondere i due concetti di teorema ed enunciato. L'enunciato non è un teorema, ma solo una delle due parti che, insieme alla dimostrazione, costituiscono un teorema.

Teorema = Enunciato + Dimostrazione

Ad esempio, la seguente proposizione:

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

è solo l'enunciato del teorema di Pitagora.

Un enunciato che si suppone vero ma per cui non si riesce a fornire una dimostrazione è detto congettura (da non confondere con la nozione di assioma).

Tipi di teorema

Per capire quali e quanti tipi di teorema esistono, indichiamo con l'ipotesi e con la tesi dell'enunciato di un teorema.

Dopo aver dimostrato che diremo che l'implicazione è un teorema diretto. A partire dal teorema diretto si definiscono altri tre tipi di teorema:

- teorema inverso o teorema reciproco, che si ottiene scambiando l'ipotesi del teorema diretto con la sua tesi. Quindi, se è il teorema diretto, il suo teorema inverso è

Se oltre al teorema diretto è vero anche il teorema inverso, si ha la coimplicazione logica

e si dice che è condizione necessaria e sufficiente per il verificarsi di .

- Teorema contronominale, che ha per ipotesi la negazione della tesi e per tesi la negazione dell'ipotesi del teorema diretto. In generale, il teorema contronominale del teorema è

- Teorema contrario, ottenuto sostituendo all'ipotesi e alla tesi del teorema diretto le rispettive negazioni. Di conseguenza il teorema contrario di  è

Esempio sulla costruzione dei tipi di teorema

Consideriamo il seguente enunciato (banale): se è un angolo ottuso, allora è maggiore della metà di un angolo retto.

L'ipotesi è: è un angolo ottuso.

La tesi è: .

Per verificare che la precedente proposizione sia effettivamente l'enunciato di un teorema dobbiamo fornire una dimostrazione.

Dimostrazione: per definizione un angolo ottuso è un angolo maggiore di un angolo retto, quindi , di conseguenza è ovvio che risulti .

Ciò conclude la dimostrazione e dunque la proposizione dell'esempio è effettivamente l'enunciato di un teorema.

L'enunciato del teorema inverso si ottiene scambiando l'ipotesi con la tesi: se è un angolo maggiore della metà di un angolo retto, allora è un angolo ottuso.

L'enunciato del teorema contronominale è: se è un angolo minore della metà di un angolo retto, allora non è un angolo ottuso.

L'enunciato del teorema contrario è: se non è un angolo ottuso allora è minore della metà di un angolo retto.

Vi facciamo osservare che gli enunciati del teorema inverso e del teorema contrario sono falsi e a tal proposito possiamo considerare un semplice controesempio. se consideriamo , risulta che l'angolo :

- è maggiore della metà di un angolo retto, ma non è un angolo ottuso (e ciò contraddice il teorema inverso);

- non è un angolo ottuso ma non è minore della metà di un angolo retto (e ciò contraddice il teorema contrario).

Esempi di teorema

Ecco a voi un piccolo elenco dei più famosi teoremi della Matematica; cliccando sul loro nome potete accedere a una lezione interamente dedicata a essi, in cui troverete enunciato e relativa dimostrazione.

Teorema di Pitagora;

Teorema di Talete;

Teoremi di Euclide;

Teorema della corda;

Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange;

Teorema fondamentale del calcolo integrale;

Teorema di de l'Hopital;

.. l'elenco potrebbe continuare, ma ci fermiamo qua. ;)

***

Con questo è tutto ;) per chi fosse interessato, ecco qualche spunto d'approfondimento:

- cos'è un assioma;

- cos'è un corollario;

- cos'è un lemma.