Soluzioni
  • Un teorema è un costrutto matematico che viene espresso mediante una proposizione, detta enunciato, e dimostrata mediante un ragionamento logico, detto dimostrazione; possiamo anche definire un teorema come un'implicazione logica tra due predicati, il primo dei quali si dice ipotesi e il secondo tesi.

    Parti di un teorema

    Un qualsiasi teorema è formato da due parti:

    - l'enunciato, ossia la proposizione che esprime l'implicazione logica;

    - la dimostrazione, ossia il processo deduttivo che permette di ricavare il valore di verità dell'enunciato.

    A sua volta, l'enunciato di un teorema è costituito da ipotesi e tesi:

    - le ipotesi sono le condizioni e/o le proprietà su cui si fonda il ragionamento, e sono assunte come vere;

    - la tesi è la condizione e/o la proprietà che discende dalle ipotesi.

    Indicando con I le ipotesi e con T la tesi, per dimostrare un teorema si deve provare che vale l'implicazione

    I ⇒ T

    Quando un teorema è stato dimostrato, si dice che I è condizione sufficiente per il verificarsi di T e che T è condizione necessaria per il verificarsi di I.

    Osservazione (differenza tra teorema ed enunciato del teorema)

    Un errore comune è quello di confondere i due concetti di teorema ed enunciato. L'enunciato non è un teorema, ma solo una delle due parti che, insieme alla dimostrazione, costituiscono un teorema.

    Teorema = Enunciato + Dimostrazione

    Ad esempio, la seguente proposizione:

    in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

    è solo l'enunciato del teorema di Pitagora.

    Un enunciato che si suppone vero ma per cui non si riesce a fornire una dimostrazione è detto congettura (da non confondere con la nozione di assioma).

    Tipi di teorema

    Per capire quali e quanti tipi di teorema esistono, indichiamo con I l'ipotesi e con T la tesi dell'enunciato di un teorema.

    Dopo aver dimostrato che I ⇒ T diremo che l'implicazione I ⇒ T è un teorema diretto. A partire dal teorema diretto si definiscono altri tre tipi di teorema:

    - teorema inverso o teorema reciproco, che si ottiene scambiando l'ipotesi del teorema diretto con la sua tesi. Quindi, se I ⇒ T è il teorema diretto, il suo teorema inverso è

    T ⇒ I

    Se oltre al teorema diretto è vero anche il teorema inverso, si ha la coimplicazione logica

    I ⇔ T

    e si dice che I è condizione necessaria e sufficiente per il verificarsi di T.

    - Teorema contronominale, che ha per ipotesi la negazione della tesi e per tesi la negazione dell'ipotesi del teorema diretto. In generale, il teorema contronominale del teorema I ⇒ T è

    T ⇒ I

    - Teorema contrario, ottenuto sostituendo all'ipotesi e alla tesi del teorema diretto le rispettive negazioni. Di conseguenza il teorema contrario di I ⇒ T è

    I ⇒ T

    Esempio sulla costruzione dei tipi di teorema

    Consideriamo il seguente enunciato (banale): se α è un angolo ottuso, allora α è maggiore della metà di un angolo retto.

    L'ipotesi è: α è un angolo ottuso.

    La tesi è: α > 45°.

    Per verificare che la precedente proposizione sia effettivamente l'enunciato di un teorema dobbiamo fornire una dimostrazione.

    Dimostrazione: per definizione un angolo ottuso è un angolo maggiore di un angolo retto, quindi α > 90°, di conseguenza è ovvio che risulti α > 45°.

    Ciò conclude la dimostrazione e dunque la proposizione dell'esempio è effettivamente l'enunciato di un teorema.

    L'enunciato del teorema inverso si ottiene scambiando l'ipotesi con la tesi: se α è un angolo maggiore della metà di un angolo retto, allora α è un angolo ottuso.

    L'enunciato del teorema contronominale è: se α è un angolo minore della metà di un angolo retto, allora α non è un angolo ottuso.

    L'enunciato del teorema contrario è: se α non è un angolo ottuso allora α è minore della metà di un angolo retto.

    Vi facciamo osservare che gli enunciati del teorema inverso e del teorema contrario sono falsi e a tal proposito possiamo considerare un semplice controesempio. se consideriamo α = 60°, risulta che l'angolo α:

    - è maggiore della metà di un angolo retto, ma non è un angolo ottuso (e ciò contraddice il teorema inverso);

    - non è un angolo ottuso ma non è minore della metà di un angolo retto (e ciò contraddice il teorema contrario).

    Esempi di teorema

    Ecco a voi un piccolo elenco dei più famosi teoremi della Matematica; cliccando sul loro nome potete accedere a una lezione interamente dedicata a essi, in cui troverete enunciato e relativa dimostrazione.

    Teorema di Pitagora;

    Teorema di Talete;

    Teoremi di Euclide;

    Teorema della corda;

    Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange;

    Teorema fondamentale del calcolo integrale;

    Teorema di de l'Hopital;

    .. l'elenco potrebbe continuare, ma ci fermiamo qua. ;)

    ***

    Con questo è tutto ;) per chi fosse interessato, ecco qualche spunto d'approfondimento:

    - cos'è un assioma;

    - cos'è un corollario;

    - cos'è un lemma.

    Risposta di Galois
 
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