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  • Una definizione è un'espressione linguistica o simbolica utilizzata per individuare un concetto, un ente o una proprietà; l'oggetto della definizione deve essere descritto in maniera chiara e completa e deve essere individuato da un nome e/o un simbolo specifico per contraddistinguerlo da tutti gli altri.

    In modo equivalente, una definizione è una proposizione vera per costruzione.

    Esempi di definizioni

    Alcuni esempi di definizioni tipiche della Matematica sono i seguenti:

    1) un rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli retti;

    2) un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 e divisibile solo per 1 e per se stesso;

    3) Pi Greco (\pi) è il rapporto tra la misura della circonferenza e la misura del diametro;

    4) due rette perpendicolari sono due rette incidenti che formano quattro angoli retti;

    5) si dice numero razionale ogni quoziente della forma \frac{m}{n}, dove m \mbox{ e } n sono due numeri interi, con n \neq 0.

    Una definizione chiarisce qual è il significato dell'ente considerato, dando per assodata la conoscenza di altri concetti, o più precisamente facendo riferimento ad altre definizioni.

    Ad esempio, la definizione di rettangolo è chiara solo a chi sa già cos'è un quadrilatero e come si definisce un angolo retto. Per definire la nozione di quadrilatero è necessario disporre della definizione di poligono, mentre per capire la definizione di angolo retto occorre aver chiara la definizione di angolo, e così via.

    Questo percorso a ritroso non può continuare all'infinito; è dunque necessario considerare alcuni concetti (nel minor numero possibile) per i quali non venga data alcuna definizione e che siano descritti solo intuitivamente; in Geometria tali concetti prendono il nome di enti geometrici fondamentali.

    Definizione universale e definizione locale

    Nello sviluppo e nell'esposizione della Matematica esistono due tipi di definizioni: universali e locali.

    Una definizione universale è una definizione valida per tutti.

    Ad esempio, tutte le definizioni degli esempi precedenti sono definizioni universali.

    Una definizione locale al contrario è una definizione valida in linea di massima solo e solamente nel contesto in cui viene introdotta.

    Ad esempio, in un testo matematico possono essere utilizzati nomi, simboli e proprietà secondo convenzioni particolari, considerate valide nel contesto di quel libro.

    Esempi

    Per fissare le idee, in un libro di geometria potrebbe capitare di leggere: sia P l'insieme di tutti i poligoni.

    In tal caso si è deciso di denotare l'insieme dei poligoni con la lettera P e quindi, da quel momento in poi, secondo la convenzione del testo qualsiasi elemento dell'insieme P sarà un poligono.

    In un libro di algebra potrebbe invece capitare di leggere che la lettera P indica l'insieme dei numeri primi; in un testo di insiemistica la lettera P potrebbe indicare l'insieme dei numeri pari.

    Questo accade perché la lettera P, a differenza di \pi, non ha alcun significato universalmente e quindi il suo utilizzo varia a seconda del contesto in cui la si usa.

    L'importanza della corretta lettura delle definizioni

    Come avrete certamente intuito le definizioni universali sono una vera e propria manna dal cielo nello studio e nell'esposizione della Matematica, perché semplificano notevolmente la lettura e l'interpretazione.

    Sfortunatamente però il mondo della Matematica è veramente molto grande: oltre alla vastità della teoria c'è un considerevole numero di libri, di docenti e di matematici. Le definizioni sono le colonne portanti nella formulazione e nell'esposizione di teoremi e proposizioni, e può capitare di scoprire che quella che consideravamo come una definizione universale in realtà non lo è...

    Poiché le definizioni sono definizioni e sono frutto di una scelta (una convenzione), nello studio della Matematica è fondamentale non avere preconcetti, non dare nulla per scontato e attenersi scrupolosamente al contesto: quella che consideriamo come una definizione universale potrebbe non esserlo. In fase di esposizione, invece, è essenziale che ci sia assoluta coerenza nell'intero impianto teorico.

    Volete un esempio? Date un'occhiata alla nostra lezione sui punti di discontinuità di seconda specie... ;)

    Uguale per definizione

    In Matematica, per ribadire che un'uguaglianza discende da una definizione, è possibile ricorrere a uno dei vari simboli di uguale per definizione:

    := \mbox{ oppure } \triangleq \mbox{ oppure } \doteq

    Ecco alcuni esempi di utilizzo del simbolo uguale per definizione

    1) Potenza alla zero: per ogni numero reale a diverso da zero vale a^0 := 1

    2) Unità immaginaria: \imath \triangleq \sqrt{\-1}

    3) Numero di Nepero: e \doteq \lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

    Definizione ricorsiva (per V liceo e universitari)

    Una definizione ricorsiva, detta anche definizione per ricorrenza, è una definizione matematica formata da due affermazioni:

    - nella prima si definisce esplicitamente il primo elemento;

    - nella seconda si definisce un generico elemento a partire dai precedenti.

    Esempi di definizioni ricorsive

    1) L'operazione di elevamento a potenza avente come esponente un numero naturale può essere definita ricorsivamente come segue

    a^n := \begin{cases}1 \mbox{ se } n=0 \\ \\ a \cdot a^{n-1} \mbox{ se } n \in \mathbb{N}, \ n \neq 1\end{cases}

    2) Definizione ricorsiva di fattoriale

    n! := \begin{cases}1 \mbox{ se } n=0 \\ \\ n \cdot (n-1)! \mbox{ se } n\in \mathbb{N}, \ n \neq 0\end{cases}

    3) Successione di Fibonacci

    a_n := \begin{cases} 1 \mbox{ se } n=0 \\ \\ 1 \mbox{ se } n=1 \\ \\ a_{n-1}+a_{n-2} \mbox{ se } n\ge 2\end{cases}

    ***

    Con questo è tutto! Nel salutarvi vi lasciamo qualche spunto di approfondimento:

    - cos'è un teorema;

    - cos'è un assioma.

    Risposta di Galois
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