Soluzioni
  • Un assioma è una proposizione matematica che si considera vera senza essere dimostrata; gli assiomi sono il fondamento di qualsiasi teoria e devono essere tra loro indipendenti, non contradditori e in numero finito.

    Quando si dimostra un teorema si fa riferimento ad altri teoremi, lemmi o corollari precedentemente dimostrati, che a loro volta dipendono da altri. Si viene così a costruire un procedimento a ritroso che, ovviamente, non può estendersi all'infinito.

    È quindi necessario fissare alcune proprietà iniziali che si assumono come vere e che si accettano così come sono. Ciascuna di tali proprietà è detta assioma e, nel loro complesso, costituiscono il punto di partenza su cui si basa qualsiasi branca della Matematica, quale può essere la teoria degli insiemi, la Geometria, l'Aritmetica, il calcolo delle Probabilità, e così via.

    Esempi di assioma

    Qui di seguito abbiamo riportato i più famosi assiomi della Matematica. Ribadiamo ancora una volta che un assioma è una proprietà che viene assunta come vera, quindi non c'è nulla da dovere dimostrare. ;)

    Assiomi di Peano

    Sono un gruppo di cinque assiomi introdotti dal matematico Giuseppe Peano con lo scopo di definire assiomaticamente l'insieme dei numeri naturali. Esistono diversi enunciati per ciascuno degli assiomi di Peano e, nel seguente elenco, ne riportiamo una specifica formulazione:

    1) lo 0 è un numero naturale;

    2) per ogni numero naturale n esiste un suo successore;

    3) lo 0 non è il successore di nessun numero naturale;

    4) numeri diversi hanno successori diversi;

    5) ogni sottoinsieme dell'insieme N dei numeri naturali che contiene lo 0 e il successore di ogni suo elemento, coincide con l'insieme dei numeri naturali.

    L'assioma 5) è detto assioma di induzione e da esso discende il principio di induzione.

    Assioma di Dedekind

    Detto anche assioma di completezza, assicura la completezza dell'insieme dei numeri reali. L'assioma di Dedekind afferma che se A \mbox{ e } B sono due sottoinsiemi non vuoti di numeri reali, allora per ogni a \in A e per ogni b \in B tali per cui vale la relazione a \le b, esiste un numero reale c che soddisfa la condizione a \le c \le b.

    Assioma della scelta

    È un assioma della teoria degli insiemi il quale asserisce che, data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti, esiste una funzione che a ogni elemento della famiglia fa corrispondere un suo elemento.

    Assiomi della teoria della Probabilità

    La teoria della Probabilità si basa sui seguenti tre assiomi:

    1) la probabilità di un evento è un numero unico maggiore o uguale di zero;

    2) la probabilità dell'evento certo è sempre 1;

    3) la probabilità dell'unione di due eventi incompatibili è la somma delle loro probabilità.

    Assioma dell'insieme vuoto

    Esiste un insieme privo di elementi, detto insieme vuoto e denotato con il simbolo \left\{ \ \right\}.

    Differenza tra assioma, postulato e principio

    I termini assioma, postulato e principio hanno lo stesso significato e vengono spesso usati come sinonimi.

    Più precisamente:

    - il termine assioma si usa in qualsiasi ambito matematico;

    - si preferisce adoperare la parola postulato per indicare un assioma in ambito geometrico;

    - si ricorre al termine principio per riferirsi a un assioma della Fisica.

    Inoltre, a differenza di assiomi e postulati, i principi vengono assunti come tali in base all'esperienza diretta, in virtù delle osservazioni sperimentali che li verificano.

    ***

    Con questo è tutto! Vi lasciamo qualche spunto di approfondimento:

    - cos'è una definizione;

    - ipotesi e tesi;

    - cos'è una dimostrazione.

    Risposta di Galois
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