Soluzioni
  • Una dimostrazione matematica è un processo deduttivo che permette di verificare la validità dell'enunciato di un teorema, e che prevede di mostrare che la validità delle ipotesi implica la validità della tesi

    \mbox{Ipotesi} \Rightarrow \mbox{Tesi}

    In un impianto dimostrativo le ipotesi sono tutte le condizioni o proprietà che si suppongono vere, e vengono solitamente introdotte mediante la congiunzione condizionale se; al contrario, la tesi è la condizione o proprietà che discende dalle ipotesi, e viene solitamente introdotta dalla congiunzione coordinativa allora.

    Il ragionamento deduttivo che, partendo dalle ipotesi, consente di giungere alla tesi è detto dimostrazione diretta.

    Non è sempre facile (o possibile) dimostrare i teoremi per via diretta: in questi casi possiamo fare affidamento ai cosiddetti metodi di dimostrazione indiretta, ossia tecniche di dimostrazione logicamente valide che si discostano dal metodo deduttivo diretto e che consentono ugualmente di provare la validità dell'implicazione Ipotesi ⇒ Tesi. Rientrano in questa tipologia le dimostrazioni per assurdo e le dimostrazioni contronominali.

    Esistono infine due ulteriori procedimenti che non rientrano tra i metodi diretto/indiretto: le dimostrazione per induzione (o dimostrazione induttiva) e le dimostrazioni per controesempio.

    Metodi di dimostrazione

    Dimostrazione diretta: ragionamento deduttivo in cui, supponendo vere le ipotesi, permette di giungere alla tesi anche grazie a postulati, assiomi o principi di partenza o eventualmente a proposizioniteoremi, lemmi o corollari precedentemente dimostrati.

    • Dimostrazione per assurdo: si suppongono le ipotesi vere e si suppone che la tesi non sia valida; si innesca un ragionamento che conduce a una contraddizione con le ipotesi.

    • Dimostrazione contronominale: detta anche dimostrazione per contrapposizione, prevede di dimostrare che la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi.

    • Dimostrazione per induzione: si utilizza per dimostrare un teorema o una proprietà in cui l'asserto è espresso mediante numeri naturali o è comunque tale da presentare una dipendenza dai numeri naturali, tipicamente riconducibile alla forma:

    dimostrare che per ogni n \in \mathbb{N} vale la proprietà P(n).

    Una dimostrazione per induzione consiste di due parti:

    1) [passo iniziale] verificare che sia vera la proprietà P(0);

    2) [passo induttivo] supporre che sia vera la proprietà P(n) (detta ipotesi induttiva) e dimostrare che da ciò segue la validità della proprietà P(n+1).

    Ultimata la verifica dei punti 1) e 2) la dimostrazione per induzione è completa e si può asserire che la proprietà P(n) è vera per ogni n \in \mathbb{N}.

    • Dimostrazione per controesempio: metodo usato per dimostrare che un enunciato è falso, prevede di individuare un esempio che soddisfa le ipotesi e che contraddice la tesi.

    Attenzione a non confondere le dimostrazioni per assurdo con le dimostrazioni contronominali

    Anche se la logica delle dimostrazioni per assurdo sembrerebbe somigliare a quella delle dimostrazioni contronominali, la differenza è sostanziale:

    - nel primo caso si suppone che valgano le ipotesi e che non valga la tesi, in modo da giungere a una contraddizione;

    - nel secondo caso si suppone solamente che non valga la tesi e si dimostra conseguentemente che non vale l'ipotesi.

    Esempio di dimostrazione diretta

    Dimostrare che un numero naturale divisibile per 6 è anche divisibile per 3.

    Dimostrazione: sia n un numero naturale. Per ipotesi n è divisibile per 6, quindi esiste m \in \mathbb{N} tale che

    n=6\cdot m

    Dobbiamo dimostrare che n è divisibile per 3, ossia che n si può scrivere come prodotto tra 3 e un altro opportuno numero naturale.

    La scomposizione in fattori primi di 6 è

    6=3 \cdot 2

    quindi

    n=6\cdot m = (3 \cdot 2) \cdot m

    Per la proprietà associativa della moltiplicazione

    n=3 \cdot (2 \cdot m)

    Avendo scritto n come prodotto tra 3 e il numero naturale (2m) possiamo concludere che n è divisibile per 3.

    \blacksquare

    Tra gli innumerevoli possibili esempi di dimostrazione diretta che potremmo proporvi menzioniamo la dimostrazione del teorema di Pitagora e quella del teorema di Talete.

    Esempio di dimostrazione per assurdo

    Dimostrare che la somma di un numero pari p e di un numero dispari q è un numero dispari.

    Dimostrazione: in una dimostrazione per assurdo dobbiamo supporre che valgano le ipotesi e che la tesi non sia valida, in modo da giungere a una contraddizione.

    Consideriamo due numeri naturali p,q rispettivamente pari e dispari e supponiamo che la somma s=p+q sia un numero pari. Esiste quindi un numero naturale \overline{s } tale che

    s=2\overline{s}

    Poiché p è pari, esiste un numero naturale \overline{p} tale che

    p=2\overline{p}

    Da

    s=p+q

    possiamo scrivere

    2\overline{s}=2\overline{p}+q

    ossia

    q=2\overline{s}-2\overline{p}=2(\overline{s}-\overline{q})

    Ricaviamo così che q è un numero pari, in contraddizione con l'ipotesi.

    \blacksquare

    Nota a margine: solitamente la tecnica di dimostrazione per assurdo viene utilizzata per enunciati ben più elaborati del precedente; lo scopo dell'esempio è puramente esemplificativo e, effettivamente, avremmo potuto dimostrare la tesi in modi più immediati.

    Un altro classico esempio di dimostrazione per assurdo consiste nel dimostrare che la radice di 2 non è razionale.

    Esempio di dimostrazione contronominale

    Dimostrare che tutti i numeri naturali multipli di 10 sono anche multipli di 2.

    Dimostrazione: sia x un numero naturale. Per ipotesi sappiamo che x è un multiplo di 10 e dobbiamo dimostrare che x è un multiplo di 2.

    Nella dimostrazione contronominale si deve negare la tesi e giungere a una negazione dell'ipotesi. Supponiamo quindi che x non sia un multiplo di 2.

    Se x non è un multiplo di 2 allora x è un numero dispari, ossia la sua cifra delle unità è 1, 3, 5, 7, 9. Di conseguenza x non è un multiplo di 10, infatti tutti i multipli di 10 hanno la cifra delle unità pari a zero.

    Abbiamo finito! La negazione della tesi ci ha portato a negare l'ipotesi e quindi il teorema può dirsi dimostrato.

    \blacksquare

    Esempio di dimostrazione per induzione

    Dimostrare che per ogni n \in \mathbb{N}: \ n(n+1) è un numero pari.

    Dimostrazione: per ogni n appartenente all'insieme dei numeri naturali dobbiamo dimostrare per induzione la proprietà

    P(n): \ n(n+1) è un numero pari

    1) Verifichiamo che la proprietà è vera per n=0

    0 \cdot (0+1) = 0, che è un numero pari, quindi la proprietà P(0) è verificata.

    2) Supponiamo che valga la proprietà P(n), ossia che

    n(n+1) è pari

    e dimostriamo che vale la proprietà P(n+1), cioè che

    (n+1)(n+1+1)=(n+1)(n+2) è pari.

    Osserviamo che

    (n+1)(n+2)=n^2+2n+n+2=n^2+3n+2

    quindi verificare la proprietà P(n+1) equivale a dimostrare che n^2+3n+2 è un numero pari.

    D'altra parte

    n^2+3n+2=(n^2+n)+2n+2

    Per ipotesi induttiva n(n+1)=n^2+n è pari. Inoltre anche 2 \mbox{ e } 2n sono numeri pari, e la somma tra due o più numeri pari è un numero pari.

    Abbiamo così dimostrato la validità del passo induttivo: supponendo che valga la proprietà P(n) ne consegue che vale la proprietà P(n+1).

    Possiamo così concludere che la proprietà P(n) è vera per ogni n \in \mathbb{N}.

    \blacksquare

    Per leggere altri esempi di dimostrazioni per induzione rimandiamo alla nostra pagina di esercizi sul principio di induzione.

    Esempio di dimostrazione per controesempio

    Tutti i numeri naturali maggiori di 5 sono pari.

    L'enunciato è falso. Dimostrazione: proponiamo un controesempio. 7 è un numero maggiore di 5 ed è dispari, dunque non è vero che tutti i numeri naturali maggiori di 5 sono pari.

    \blacksquare

    Notazione di fine dimostrazione

    Spesso nei testi e nei manuali avanzati, a partire dal livello accademico, viene usata una specifica notazione per indicare la fine di una dimostrazione, in modo da agevolare la lettura e alleggerire l'impatto visivo.

    Per denotare la conclusione di una dimostrazione è possibile riportare uno dei seguenti simboli, tipicamente allineato a destra del testo:

    \square\ \ \ \blacksquare\ \ \ \mbox{Q.E.D.}\ \ \ \mbox{C.V.D.}

    dove i due acronimi Q.E.D. e C.V.D. significano rispettivamente Quod Erat Demonstrandum e Come Volevasi Dimostrare.

    Tale simbologia può all'occorrenza essere utilizzata per indicare la conclusione di eventuali osservazioni, esempi o eventualmente definizioni.

    Dimostrazione di una proposizione

    Fino a qui abbiamo detto che le dimostrazioni permettono di provare che l'enunciato di un teorema, di un corollario o di un lemma è vero. In termini più generali il procedimento di dimostrazione può riguardare una proposizione o un enunciato qualsiasi, dunque non necessariamente un asserto che sia strutturato mediante un'implicazione logica tra ipotesi e tesi.

    Un esempio: non esistono triangoli con due angoli ottusi.

    Vi facciamo comunque notare che, perlomeno nella maggior parte dei casi, è possibile esprimere le proposizioni da dimostrare in modo da ricondurle al classico impianto di implicazione tra ipotesi e tesi:

    Nel nostro esempio: se un poligono ha tre lati, allora non può avere due angoli ottusi.

    ***

    Con questo è tutto! Se segnaliamo un ulteriore approfondimento che potrebbe interessarvi: cos'è una definizione. ;)

    Risposta di Galois
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