Dimostrazione

Una dimostrazione matematica è un processo deduttivo che permette di verificare la validità dell'enunciato di un teorema, e che prevede di mostrare che la validità delle ipotesi implica la validità della tesi

In un impianto dimostrativo le ipotesi sono tutte le condizioni o proprietà che si suppongono vere, e vengono solitamente introdotte mediante la congiunzione condizionale se; al contrario, la tesi è la condizione o proprietà che discende dalle ipotesi, e viene solitamente introdotta dalla congiunzione coordinativa allora.

Il ragionamento deduttivo che, partendo dalle ipotesi, consente di giungere alla tesi è detto dimostrazione diretta.

Non è sempre facile (o possibile) dimostrare i teoremi per via diretta: in questi casi possiamo fare affidamento ai cosiddetti metodi di dimostrazione indiretta, ossia tecniche di dimostrazione logicamente valide che si discostano dal metodo deduttivo diretto e che consentono ugualmente di provare la validità dell'implicazione Ipotesi ⇒ Tesi. Rientrano in questa tipologia le dimostrazioni per assurdo e le dimostrazioni contronominali.

Esistono infine due ulteriori procedimenti che non rientrano tra i metodi diretto/indiretto: le dimostrazione per induzione (o dimostrazione induttiva) e le dimostrazioni per controesempio.

Metodi di dimostrazione

• Dimostrazione diretta: ragionamento deduttivo in cui, supponendo vere le ipotesi, permette di giungere alla tesi anche grazie a postulati, assiomi o principi di partenza o eventualmente a proposizioni, teoremi, lemmi o corollari precedentemente dimostrati.

• Dimostrazione per assurdo: si suppongono le ipotesi vere e si suppone che la tesi non sia valida; si innesca un ragionamento che conduce a una contraddizione con le ipotesi.

• Dimostrazione contronominale: detta anche dimostrazione per contrapposizione, prevede di dimostrare che la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi.

• Dimostrazione per induzione: si utilizza per dimostrare un teorema o una proprietà in cui l'asserto è espresso mediante numeri naturali o è comunque tale da presentare una dipendenza dai numeri naturali, tipicamente riconducibile alla forma:

dimostrare che per ogni vale la proprietà .

Una dimostrazione per induzione consiste di due parti:

1) [passo iniziale] verificare che sia vera la proprietà ;

2) [passo induttivo] supporre che sia vera la proprietà (detta ipotesi induttiva) e dimostrare che da ciò segue la validità della proprietà .

Ultimata la verifica dei punti 1) e 2) la dimostrazione per induzione è completa e si può asserire che la proprietà è vera per ogni .

• Dimostrazione per controesempio: metodo usato per dimostrare che un enunciato è falso, prevede di individuare un esempio che soddisfa le ipotesi e che contraddice la tesi.

Attenzione a non confondere le dimostrazioni per assurdo con le dimostrazioni contronominali

Anche se la logica delle dimostrazioni per assurdo sembrerebbe somigliare a quella delle dimostrazioni contronominali, la differenza è sostanziale:

- nel primo caso si suppone che valgano le ipotesi e che non valga la tesi, in modo da giungere a una contraddizione;

- nel secondo caso si suppone solamente che non valga la tesi e si dimostra conseguentemente che non vale l'ipotesi.

Esempio di dimostrazione diretta

Dimostrare che un numero naturale divisibile per 6 è anche divisibile per 3.

Dimostrazione: sia un numero naturale. Per ipotesi è divisibile per 6, quindi esiste tale che

Dobbiamo dimostrare che è divisibile per 3, ossia che si può scrivere come prodotto tra 3 e un altro opportuno numero naturale.

La scomposizione in fattori primi di 6 è

quindi

Per la proprietà associativa della moltiplicazione

Avendo scritto come prodotto tra 3 e il numero naturale possiamo concludere che è divisibile per 3.

Tra gli innumerevoli possibili esempi di dimostrazione diretta che potremmo proporvi menzioniamo la dimostrazione del teorema di Pitagora e quella del teorema di Talete.

Esempio di dimostrazione per assurdo

Dimostrare che la somma di un numero pari  e di un numero dispari  è un numero dispari.

Dimostrazione: in una dimostrazione per assurdo dobbiamo supporre che valgano le ipotesi e che la tesi non sia valida, in modo da giungere a una contraddizione.

Consideriamo due numeri naturali rispettivamente pari e dispari e supponiamo che la somma sia un numero pari. Esiste quindi un numero naturale tale che

Poiché è pari, esiste un numero naturale tale che

Da

possiamo scrivere

ossia

Ricaviamo così che è un numero pari, in contraddizione con l'ipotesi.

Nota a margine: solitamente la tecnica di dimostrazione per assurdo viene utilizzata per enunciati ben più elaborati del precedente; lo scopo dell'esempio è puramente esemplificativo e, effettivamente, avremmo potuto dimostrare la tesi in modi più immediati.

Un altro classico esempio di dimostrazione per assurdo consiste nel dimostrare che la radice di 2 non è razionale.

Esempio di dimostrazione contronominale

Dimostrare che tutti i numeri naturali multipli di 10 sono anche multipli di 2.

Dimostrazione: sia un numero naturale. Per ipotesi sappiamo che è un multiplo di 10 e dobbiamo dimostrare che è un multiplo di 2.

Nella dimostrazione contronominale si deve negare la tesi e giungere a una negazione dell'ipotesi. Supponiamo quindi che non sia un multiplo di 2.

Se non è un multiplo di 2 allora è un numero dispari, ossia la sua cifra delle unità è 1, 3, 5, 7, 9. Di conseguenza non è un multiplo di 10, infatti tutti i multipli di 10 hanno la cifra delle unità pari a zero.

Abbiamo finito! La negazione della tesi ci ha portato a negare l'ipotesi e quindi il teorema può dirsi dimostrato.

Esempio di dimostrazione per induzione

Dimostrare che per ogni è un numero pari.

Dimostrazione: per ogni appartenente all'insieme dei numeri naturali dobbiamo dimostrare per induzione la proprietà

è un numero pari

1) Verifichiamo che la proprietà è vera per

, che è un numero pari, quindi la proprietà è verificata.

2) Supponiamo che valga la proprietà , ossia che

è pari

e dimostriamo che vale la proprietà , cioè che

è pari.

Osserviamo che

quindi verificare la proprietà equivale a dimostrare che è un numero pari.

D'altra parte

Per ipotesi induttiva è pari. Inoltre anche sono numeri pari, e la somma tra due o più numeri pari è un numero pari.

Abbiamo così dimostrato la validità del passo induttivo: supponendo che valga la proprietà ne consegue che vale la proprietà .

Possiamo così concludere che la proprietà è vera per ogni .

Per leggere altri esempi di dimostrazioni per induzione rimandiamo alla nostra pagina di esercizi sul principio di induzione.

Esempio di dimostrazione per controesempio

Tutti i numeri naturali maggiori di 5 sono pari.

L'enunciato è falso. Dimostrazione: proponiamo un controesempio. 7 è un numero maggiore di 5 ed è dispari, dunque non è vero che tutti i numeri naturali maggiori di 5 sono pari.

Notazione di fine dimostrazione

Spesso nei testi e nei manuali avanzati, a partire dal livello accademico, viene usata una specifica notazione per indicare la fine di una dimostrazione, in modo da agevolare la lettura e alleggerire l'impatto visivo.

Per denotare la conclusione di una dimostrazione è possibile riportare uno dei seguenti simboli, tipicamente allineato a destra del testo:

dove i due acronimi Q.E.D. e C.V.D. significano rispettivamente Quod Erat Demonstrandum e Come Volevasi Dimostrare.

Tale simbologia può all'occorrenza essere utilizzata per indicare la conclusione di eventuali osservazioni, esempi o eventualmente definizioni.

Dimostrazione di una proposizione

Fino a qui abbiamo detto che le dimostrazioni permettono di provare che l'enunciato di un teorema, di un corollario o di un lemma è vero. In termini più generali il procedimento di dimostrazione può riguardare una proposizione o un enunciato qualsiasi, dunque non necessariamente un asserto che sia strutturato mediante un'implicazione logica tra ipotesi e tesi.

Un esempio: non esistono triangoli con due angoli ottusi.

Vi facciamo comunque notare che, perlomeno nella maggior parte dei casi, è possibile esprimere le proposizioni da dimostrare in modo da ricondurle al classico impianto di implicazione tra ipotesi e tesi:

Nel nostro esempio: se un poligono ha tre lati, allora non può avere due angoli ottusi.

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Con questo è tutto! Se segnaliamo un ulteriore approfondimento che potrebbe interessarvi: cos'è una definizione. ;)