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  • Ipotesi e tesi sono condizioni e proprietà di qualunque genere che costituiscono un teorema: più precisamente, l'enunciato di un teorema stabilisce che se si suppongono vere le ipotesi allora segue che è vera anche la tesi. In termini rigorosi si dice che la validità delle ipotesi implica la validità della tesi.

    La struttura comune a tutti gli enunciati di un teorema è la seguente:

    \mbox{Ipotesi} \Rightarrow \mbox{Tesi}

    Il simbolo \Rightarrow si legge implica e indica che la tesi è una conseguenza logica dell'ipotesi. Un enunciato può inoltre presentarsi, in maniera del tutto analoga, nella forma

    Se valgono le ipotesi, allora vale la tesi

    Il processo deduttivo che permette di provare la validità della tesi partendo dalle ipotesi è detto dimostrazione.

    Relazione tra ipotesi e tesi - Distinguere tra ipotesi e tesi

    Il ragionamento deduttivo che caratterizza le dimostrazioni ha un'importanza fondamentale nella vita quotidiana ancor prima che nello studio della Matematica. Sapere che una determinata proprietà (tesi) vale a patto che sussitano determinate condizioni (ipotesi) e conoscere il significato del concetto di implicazione logica è un vero e proprio pilastro del pensiero razionale.

    Chi è alle prime armi con lo studio dei procedimenti dimostrativi tende spesso a confondere ipotesi e tesi da un punto di vista concettuale. Per cogliere la differenza tra ipotesi e tesi facciamo qualche esempio di implicazione logica non matematica:

    (1) se cammino, allora mi muovo;

    (2) se piove apro l'ombrello;

    (3) un cittadino onesto rispetta le leggi.

    Nella maggior parte dei casi l'enunciato di un teorema o di una generica implicazione ipotesi tesi prevede di introdurre le ipotesi con la congiunzione condizionale se e di specificare la tesi mediante la congiunzione coordinativa allora, come in (1). Ciò è in perfetto accordo con quanto abbiamo scritto in precedenza: se valgono le ipotesi, allora vale la tesi.

    Questo approccio non è comunque obbligatorio ed è qui che nascono i possibili fraintendimenti: le due congiunzioni che specificano ipotesi e tesi possono essere omesse in parte (2) o del tutto (3), specie negli asserti piuttosto complessi ed elaborati.

    Per non sbagliare è opportuno porsi le seguenti domande:

    - quali sono le condizioni grazie alle quali se ne verificano altre?

    - quali proprietà devo supporre vere affinché ne sia vera un'altra?

    O, ancor più semplicemente, basta ricordare che nell'enunciato di un teorema la validità delle ipotesi implica la validità della tesi. :)

    Esempi su ipotesi e tesi

    In Matematica c'è (letteralmente!) un'infinita di enunciati che potrebbero essere addotti come esempio sulla relazione tra ipotesi e tesi.

    La Geometria Euclidea è il primo ambito in cui gli studenti affrontano i concetti di ipotesi e tesi. Tipicamente, nel biennio delle scuole superiori, vengono proposti esercizi in cui è richiesto di dimostrare i più svariati enunciati di teoremi relativi alla Geometria delle figure piane. Per quanto vengano considerati ingiustamente inutili, i celeberrimi problemi di Geometria Euclidea hanno lo scopo di allenare gli studenti alla logica del ragionamento deduttivo e sono quindi estremamente importanti. ;)

    Una delle difficoltà maggiori che incontra chi compie i primi passi nello studio di questa disciplina è distinguere le ipotesi dalle tesi. Ne approfittiamo dunque per proporre qualche esempio di enunciato tipico delle dimostrazioni di Geometria Euclidea, mostrando come individuare ipotesi e tesi di un problema.

    Distinguere ipotesi e tesi nei problemi di Geometria Euclidea

    Per riconoscere ipotesi e tesi dall'enunciato di un teorema è utile rappresentare le figure geometriche presenti nel testo, assegnando un nome o un simbolo a ognuno degli elementi coinvolti (come vertici o angoli).

    1) In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti.

    Disegniamo un trapezio isoscele e indichiamo con A, \ B, \ C, \ D i suoi vertici.

     

    Ipotesi e tesi

     

    Per ipotesi sappiamo che il trapezio in figura è isoscele, cioè che i due lati obliqui sono segmenti congruenti; dobbiamo dimostrare che le diagonali hanno la stessa misura.

    Ipotesi: AD \cong BC

    Tesi: AC \cong BD

    2) La retta tangente condotta dal punto medio dell'arco AB di una circonferenza è parallela alla corda AB.

    Tracciamo una circonferenza e scegliamo sulla stessa due punti A \mbox{ e } B. Scegliamo uno dei due archi di circonferenza che va dal punto A al punto B e sia P il punto medio di quest'arco. Disegniamo la corda AB e la retta t tangente alla circonferenza nel punto P.

     

    Differenza tra ipotesi e tesi

     

    Ipotesi: \begin{cases}\overset{\frown}{AP} \cong \overset{\frown}{PB}\\ t \mbox{ retta tangente nel punto }P\end{cases}

    Tesi: t // AB

    3) In un triangolo isoscele le mediane condotte dai vertici della base sono congruenti.

    Dopo aver rappresentato un triangolo isoscele indichiamo con A, \ B gli estremi della base e con C l'altro vertice del triangolo. Siano AM \mbox{ e } BN le due mediane condotte dai vertici della base del triangolo.

     

    Come distinguere ipotesi da tesi

     

    Un triangolo isoscele è un triangolo con i due lati obliqui congruenti, inoltre la mediana di un triangolo è un segmento che unisce il vertice di un lato col punto medio del lato opposto.

    Ipotesi: \begin{cases}AC \cong BC \\ AN \cong NC \\ BM \cong MC\end{cases}

    Tesi: AM \cong BN

    ***

    Per concludere in bellezza vi proponiamo qualche interessante lettura:

    - cos'è un enunciato;

    - cos'è un teorema;

    - cos'è una proposizione matematica.

    Risposta di Galois
 
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