Soluzioni
  • L'integrale di 1/x è uno degli integrali fondamentali ed è uguale al logaritmo del valore assoluto di x più una costante arbitraria.

    \int \frac{1}{x} dx = \log(|x|)+c,\ \ \ c \in \mathbb{R}

    Come si calcola l'integrale di 1/x

    Per calcolare l'integrale indefinito di 1/x dobbiamo individuare tutte e sole le primitive della funzione integranda y=1/x, cioè cercare una funzione F(x) tale che la sua derivata prima coincida con f(x)=\frac{1}{x}

    \int \frac{1}{x} dx = F(x) \iff F'(x)=\frac{1}{x}

    e sommare ad essa una costante arbitraria.

    Uno dei requisiti per poter affrontare lo studio e il calcolo degli integrali è conoscere le derivate fondamentali. In questo contesto dobbiamo ricordare che la derivata del logaritmo è 1/x

    \frac{d}{dx}[\log(x)]=\frac{1}{x}

    Più in generale, la funzione F(x) cercata è proprio la funzione logaritmica con il modulo dell'argomento

    F(x)=\log(|x|)

    Il valore assoluto all'argomento del logaritmo si aggiunge per coprire tutti i casi possibili e immaginabili. Vediamo di capire perché: se applichiamo il teorema per la derivata della funzione composta, e ci ricordiamo come si calcola la derivata del valore assoluto, otteniamo

    \frac{d}{dx}[\log(|x|)]=\frac{1}{|x|}\cdot\frac{d}{dx}[|x|]=\frac{1}{|x|}\cdot\frac{|x|}{x}=\frac{1}{x}

    A questo punto per avere l'insieme di tutte le primitive dobbiamo sommare una qualsiasi costante arbitraria

    F(x)=\log(|x|)+c

    infatti dalle regole di derivazione risulta che

    \frac{d}{dx}[\log(|x|)+c]=\frac{d}{dx}[\log(|x|)]+\frac{d}{dx}[c]=\frac{1}{x}+0=\frac{1}{x}

    Possiamo allora concludere che

    \int \frac{1}{x} dx = \log(|x|) + c,\ \ \ c \in \mathbb{R}

    Integrale definito di 1/x

    L'integrale definito di 1/x si presenta nella forma

    \int_{a}^{b} \frac{1}{x} dx

    e può essere calcolato ricorrendo al teorema fondamentale del calcolo integrale a patto che nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] non sia compreso lo zero.

    \int_{a}^{b} \frac{1}{x} dx = \log(|b|)-\log(|a|) = \log\left(\left|\frac{b}{a}\right|\right) \mbox{ se } 0<a<b \mbox{ oppure }a<b<0

    Nella seconda uguaglianza abbiamo usato una delle proprietà dei logaritmi.

    Se nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] è compreso lo zero, allora si ricade in un'integrale improprio di seconda specie.

    Esempi sul calcolo dell'integrale definito di 1/x

    \\ \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x} dx = \left[\log(|x|)\right]_{-3}^{-1} = \log(|-1|)-\log(|-3|) = \log\left(\left|\frac{-1}{-3}\right|\right)=\log\left(\frac{1}{3}\right) \\ \\ \\ \int_{2}^{7} \frac{1}{x} dx = \left[\log(|x|)\right]_{2}^{7} = \log(|7|)-\log(|2|) = \log\left(\left|\frac{7}{2}\right|\right)=\log\left(\frac{7}{2}\right)

    ***

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    Risposta di Galois
 
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