Soluzioni
  • Per capire come si passa da esponenziale a logaritmo, e viceversa come si effettua il passaggio da logaritmo a esponenziale, è necessario ricordare la definizione di logaritmo:

    se a e b sono due numeri positivi, con a\neq 1, il logaritmo in base a di b è quel numero c tale per cui a elevato alla c è uguale a b.

    In formule:

    \log_{a}(b)=c \iff a^c=b, \mbox{ con } a,b>0, \ a \neq 1

    Quando consideriamo un'esponenziale della forma

    a^c=b, \mbox{ con } a,b>0, \ a \neq 1

    si può passare dall'esponenziale al logaritmo scrivendo c come il logaritmo in base a di b

    c=\log_{a}(b), \mbox{ con } a,b>0, \ a \neq 1

    Viceversa, il logaritmo in base a di b

    \log_a(b), \mbox{ con } a,b>0, \ a \neq 1

    è quel numero c tale che

    a^c=b

    Quando si usa il passaggio da esponenziale a logaritmo

    Il passaggio da esponenziale a logaritmo è il metodo che permette di risolvere le equazioni esponenziali o le disequazioni esponenziali della forma

    a^{f(x)} \gtreqless b, \mbox{ con } a,b>0, \ a \neq 1

    e in cui non si riesce a scrivere a come potenza di b.

    Esempi di passaggio da esponenziale a logaritmo

    1) 2^x=5

    Non è possibile scrivere 2 come potenza di 5, quindi per risolvere l'equazione esponenziale dobbiamo passare dall'esponenziale al logaritmo

    x=\log_2 (5)

    2) 3^{2x+1}>7

    Il numero 3 non può essere espresso come potenza del numero 7. Siamo allora costretti a passare al logaritmo

    2x+1=\log_{3}(7)

    Portiamo il numero 1 a secondo membro e dividiamo ambo i membri per il coefficiente della x

    \\ 2x=\log_{3}(7) - 1 \\ \\ x=\frac{\log_{3}(7) - 1}{2}

    3) \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \leq 25

    L'unico metodo che permette di trovare le soluzioni di questa disequazione è passare dall'esponenziale al logaritmo. Essendo la base dell'esponenziale un numero minore di 1, nel passaggio cambia il verso della disequazione.

    \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \leq 25 \iff x \ge \log_{\frac{1}{2}}(25)

    Passaggio da logaritmo a esponenziale

    Il passaggio da logaritmo a esponenziale consente di calcolare il logaritmo di un numero e di risolvere le equazioni logaritmiche e le disequazioni logaritmiche della forma

    \log_{a}[f(x)] \gtreqless b, \mbox{ con } a>0, \ a \neq 1

    Esempi di passaggio da logaritmo a esponenziale

    1) Calcolare il valore di c=\log_3(9)

    Passando dal logaritmo all'esponenziale otteniamo

    c=\log_3(9) \iff 3^c=9 \iff 3^c=3^2 \iff c=2

    2) \log_{2}(x+2)=3

    Prima di procedere alla risoluzione dell'equazione dobbiamo trovare le condizioni d'esistenza imponendo che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero.

    x+2>0 \iff x>-2

    Possiamo ora risolvere l'equazione passando all'esponenziale

    \log_2(x+2)=3 \iff x+2=2^3 \iff x+2=8 \iff x=6

    La soluzione è un numero maggiore di -2 e quindi soddisfa le condizioni d'esistenza.

    3) \log_5(x) \le 2

    Per trovare le soluzioni della disequazione logaritmica scriviamo un sistema contenente la condizione di esistenza del logaritmo e la disequazione da risolvere

    \begin{cases}x>0 \\ \log_5(x) \le 2 \end{cases}

    Nella prima disequazione non c'è nulla da fare. Per risolvere la seconda passiamo dal logaritmo all'esponenziale

    \log_5(x) \le 2 \iff x \le 5^2 \iff x \le 25

    Ci siamo ricondotti a due disequazioni di primo grado

    \begin{cases}x>0 \\ x \le 25 \end{cases}

    Riportando le soluzioni nel grafico che si usa per risolvere i sistemi di disequazioni si ottiene

    0 < x \le 25

    Relazione tra logaritmo ed esponenziale

    Per concludere è d'obbligo ricordare la relazione tra logaritmi ed esponenziali

    a^{\log_a(b)} = b, \mbox{ con } a,b>0, \ a \neq 1

    Tale relazione prende il nome di identità logaritmo-esponenziale ed è usata nella risoluzione dei limiti, in particolare nelle forme indeterminate 1^{\infty}, \ \infty^0, \ 0^0

    Risposta di Galois
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