Soluzioni
  • Un triangolo rettangolo isoscele è un triangolo rettangolo in cui i due cateti hanno la stessa misura; in modo equivalente, un triangolo rettangolo isoscele si può definire come un triangolo isoscele in cui l'angolo compreso tra i due lati uguali è un angolo retto.

     

    Triangolo rettangolo isoscele

    Un triangolo rettangolo isoscele.

     

    Formule triangolo rettangolo isoscele

    Prima di elencare le formule del triangolo rettangolo isoscele specifichiamo i simboli che useremo: 2p è il perimetro, S l'area, i l'ipotenusa, c uno dei due cateti (non importa quale, tanto sono congruenti), h l'altezza relativa all'ipotenusa e p la proiezione di ciascuno dei due cateti sull'ipotenusa.

     

    Perimetro del triangolo rettangolo isoscele

    2p=i+2c

    Ipotenusa (dal perimetro)

    i=2p-2c

    Cateto (dal perimetro)

    c=\frac{2p-i}{2}

    Area del triangolo rettangolo isoscele (con cateto)

    S=\frac{c^2}{2}

    Cateto (dall'area)

    c=\sqrt{2S}

    Area del triangolo rettangolo isoscele (con ipotenusa)

    S=\frac{i^2}{4}

    Ipotenusa (dall'area)

    i=\sqrt{4S}

    Altezza (dall'ipotenusa)

    h=\frac{i}{2}

    Ipotenusa (dall'altezza)

    i=2h

    Teorema di Pitagora

    i^2=c^2+c^2=2c^2

    Ipotenusa (con il teorema di Pitagora)

    i=\sqrt{2}c

    Cateto (con il teorema di Pitagora)

    c=\frac{i}{\sqrt{2}}

    Proiezione dei cateti e altezza

    p=h 

     

    Non fatevi spaventare dalla quantità di formule presenti in tabella: è sufficiente ricordare quelle in grassetto. Le altre si ricavano agevolmente come formule inverse.

    Inoltre, se già si conoscono le formule del triangolo rettangolo non c'è nulla di nuovo da imparare: le formule del triangolo rettangolo isoscele discendono direttamente dalle formule sul triangolo rettangolo qualsiasi.

    A tal proposito basta osservare che in un triangolo rettangolo qualsiasi i due cateti sono diversi e che si indicano con c_1, c_2. In un triangolo rettangolo isoscele invece i due cateti sono uguali e si indicano indistintamente con c, per cui le formule del triangolo rettangolo isoscele risultano semplificate.

    Per fare un esempio, l'area di un triangolo rettangolo è data dal semiprodotto delle misure dei cateti

    S=\frac{c_1 \cdot c_2}{2}

    In un triangolo rettangolo isoscele i cateti sono uguali, c_1=c_2=c, dunque la formula per l'area di un triangolo rettangolo isoscele diventa

    S=\frac{c \cdot c}{2} = \frac{c^2}{2}

    Proprietà del triangolo rettangolo isoscele

    1) I due angoli interni diversi dall'angolo retto sono angoli congruenti e la loro ampiezza è di 45°.

    Ciò è dovuto al fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°. Essendovi un angolo di 90°, la somma degli altri due è

    180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}

    Poiché il triangolo è in particolare isoscele, allora ha due angoli uguali, e quindi l'ampiezza di ciascun angolo acuto è di 45°

    90^{\circ} : 2=45^{\circ}

    2) L'altezza relativa all'ipotenusa è anche mediana e bisettrice, quindi:

    - il punto di intersezione tra altezza e ipotenusa è punto medio dell'ipotenusa; di conseguenza le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa sono segmenti congruenti;

    - l'altezza divide l'angolo retto in due angoli congruenti, ciascuno ampio 45°.

    3) Dalla proprietà precedente segue che l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele è asse di simmetria per il triangolo e lo divide in due parti uguali, ciascuna delle quali è un nuovo triangolo rettangolo isoscele.

    4) Un triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato che ha come lati i cateti e come diagonale l'ipotenusa del triangolo.

    5) Le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa sono congruenti e la loro misura coincide con la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa. In simboli:

    p=h

    Questa proprietà discende dal secondo teorema di Euclide, secondo cui in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

    p_1:h=h:p_2

    Nel triangolo rettangolo isoscele p_1=p_2=p, quindi il secondo teorema di Euclide si riscrive come

    p:h=h=p

    Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni si ottiene

    p^2=h^2

    ed estraendo la radice quadrata si ricava

    p=h

    6) Per risolvere un triangolo rettangolo isoscele basta conoscere la misura dell'ipotenusa o la misura del cateto.

    Conoscendo il cateto si può ricavare l'ipotenusa grazie al teorema di Pitagora:

    i=\sqrt{c^2+c^2} = \sqrt{2c^2}=\sqrt{2}c

    Viceversa, sempre per mezzo del teorema di Pitagora, dall'ipotenusa si può risalire al cateto:

    c=\frac{i}{\sqrt{2}}

    Si possono così ricavare tutte le altre informazioni sul triangolo come area, perimetro, altezza relativa all'ipotenusa e proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

    7) A chi ha già studiato la Trigonometria facciamo notare che si possono ricavare le formule che discendono dal teorema di Pitagora mediante i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo.

    Ad esempio il primo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo stabilisce che la misura di un cateto è uguale al prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto.

    In un triangolo rettangolo isoscele l'angolo opposto a un cateto misura 45° e il seno di 45 gradi è radical due mezzi

    \sin(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}

    di conseguenza:

    c=i \cdot \sin(45^{\circ})=i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}i

    Questa formula è la stessa che si ottiene dal teorema di Pitagora, infatti vale la relazione:

    i^2=c^2+c^2=2c^2

    Estraendo la radice quadrata e dividendo ambo i membri per 2, ricaviamo

    i=\sqrt{2}c

    ossia

    c=\frac{i}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}i

    Nell'ultimo passaggio abbiamo effettuato la razionalizzazione moltiplicando numeratore e denominatore per la radice di 2.

    Abbiamo così ricavato la stessa formula ottenuta col teorema trigonometrico.

    Esercizi svolti sul triangolo rettangolo isoscele

    Per una serie di problemi risolti sul triangolo rettangolo isoscele potete consultare la nostra scheda di esercizi sul triangolo rettangolo.

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, se non segnalare il tool per risolvere il triangolo rettangolo online, che può essere usato per risolvere anche il triangolo rettangolo isoscele. ;)

    Risposta di Galois
 
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