Soluzioni
  • L'apotema di un quadrato è il raggio della circonferenza inscritta al quadrato e ha misura pari a metà di quella del lato. Indicando con a l'apotema e con L il lato, per calcolare l'apotema del quadrato è sufficiente dividere la misura del lato per 2.

    a=\frac{L}{2}

    Formule per l'apotema del quadrato

    Nella seguente tabella abbiamo riportato tutte le formule sull'apotema del quadrato. Come vedremo nei successivi esempi non è assolutamente necessario ricordarle tutte. Se si conoscono le proprietà e le formule del quadrato l'unica formula da ricordare è la prima, secondo cui la lunghezza dell'apotema è metà di quella del lato.

     

    Apotema del quadrato dal lato

    a=\frac{L}{2}

    Apotema del quadrato dal perimetro

    a=\frac{2p}{8}

    Apotema del quadrato dall'area

    a=\frac{\sqrt{A}}{2}

    Apotema del quadrato dalla diagonale

    a=\frac{d \cdot \sqrt{2}}{4}

    Apotema del quadrato con il numero fisso

    a=L\cdot f

     

    Esempi sul calcolo dell'apotema del quadrato

    1) Il lato di un quadrato misura 16 cm. Qual è la misura del suo apotema?

    Per calcolare l'apotema del quadrato dobbiamo dividere la misura del lato per 2, quindi

    a=\frac{L}{2}=\frac{16 \mbox{ cm}}{2} = 8 \mbox{ cm}

    2) Il perimetro di un quadrato è di 44 dm. Quanto è lungo il suo apotema?

    La misura dell'apotema del quadrato si ricava dividendo il lato per 2. Il quadrato è un poligono regolare formato da 4 lati uguali, quindi per trovare il lato si deve dividere il perimetro per 4.

    \\ L = \frac{2p}{4} = \frac{44 \mbox{ dm}}{4} = 11 \mbox{ dm} \\ \\ \\ a = \frac{L}{2}=\frac{11 \mbox{ dm}}{2} = 5,5 \mbox{ dm}

    3) L'area di un quadrato è di 144 m2. Quanto misura il suo apotema?

    Per trovare l'apotema del quadrato ci serve la misura del lato, che si ottiene dalla radice quadrata dall'area:

    L =\sqrt{A}= \sqrt{144 \mbox{ m}^2} = 12 \mbox{ m}

    Dividendo la misura del lato per 2 otteniamo l'apotema

    a = \frac{L}{2} = \frac{12 \mbox{ m}}{2} = 6 \mbox{ m}

    4) La diagonale di un quadrato misura 16√2 mm. Trovare la misura dell'apotema.

    Dai dati forniti conosciamo la misura della diagonale del quadrato

    d=16\sqrt{2} \mbox{ mm}

    La diagonale del quadrato è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele avente come cateti due lati del quadrato. Per il teorema di Pitagora, il lato del quadrato si ottiene dividendo la misura della diagonale per la radice di 2

    L = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2} \mbox{ mm}}{\sqrt{2}} = 16 \mbox{ mm}

    Possiamo quindi calcolare la misura dell'apotema

    a = \frac{L}{2} = \frac{16 \mbox{ mm}}{2} = 8 \mbox{ mm}

    Lasciamo a voi il compito di verificare che usando le formule della tabella si ottengono gli stessi risultati. ;)

    Apotema del quadrato con il numero fisso

    La formula generale che consente di trovare l'apotema di un poligono regolare consiste nel moltiplicare la misura del lato di un poligono regolare per il suo numero fisso.

    a = L \cdot f

    Il numero fisso del quadrato è f=0,5, quindi

    \mbox{Apotema quadrato} = L \cdot 0,5

    Osserviamo che la frazione generatrice di 0,5 è 1/2. Sostituendo nella formula precedente otteniamo

    \mbox{Apotema quadrato} = L \cdot \frac{1}{2} = \frac{L}{2}

    Siamo così ricaduti nella formula data inizialmente: l'apotema del quadrato è la metà del lato.

    Dimostrazione della formula per l'apotema del quadrato

    Vediamo di capire perché l'apotema del quadrato corrisponde a metà del lato.

    Disegniamo un quadrato e la circonferenza ad esso inscritta. Dal centro O della circonferenza tracciamo la perpendicolare a un lato del quadrato e sia H il punto di intersezione tra la perpendicolare e il lato. Infine, tracciamo le due diagonali del quadrato, le quali si intersecano nel centro della circonferenza.

     

    Apotema quadrato

     

    Consideriamo gli assi di simmetria del quadrato verticale e orizzontale: sappiamo che essi si intersecano nel centro del quadrato, che corrisponde al centro della circonferenza inscritta.

    D'altra parte gli assi di simmetria si tagliano vicendevolmente a metà e sono perpendicolari ai lati.

    In conclusione l'apotema del quadrato e i semiassi di simmetria verticale e orizzontale sono congruenti.

    Per concludere che

    a=\frac{L}{2}

    dobbiamo semplicemente osservare che i due assi di simmetria verticale e orizzontale sono congruenti al lato del quadrato.

    ***

    Non c'è altro da dire! Nel salutarvi vi consigliamo di leggere la nostra pagina sull'apotema - click!

    Risposta di Galois
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