Soluzioni
  • La somma degli angoli esterni di un triangolo è 360°, cioè è pari a un angolo giro, che possiamo indicare anche in radianti come 2π. Ciò è vero indipendentemente dal tipo di triangolo considerato, sia esso equilatero, isoscele, scaleno o rettangolo.

    Somma angoli esterni triangolo = 360°

    Prima di vedere come si calcola la somma degli angoli esterni di un triangolo è necessario fare una piccola osservazione: con somma degli angoli esterni si intende la somma di tutti gli angoli che si ottengono prolungando verso l'esterno i lati del triangolo e procedendo nello stesso verso, cioè in senso orario o antiorario.

    In riferimento alle seguenti figure, nella prima abbiamo prolungato i lati del triangolo verso l'esterno procedendo in senso orario, nella seconda procedendo in senso antiorario.

     

    Somma degli angoli esterni di un triangolo

     

    Sia nel primo che nel secondo caso la somma degli angoli esterni del triangolo è sempre la stessa. Per rendersene conto è sufficiente osservare che due angoli esterni aventi lo stesso vertice sono angoli opposti al vertice, e in quanto tali sono angoli congruenti.

    Questa osservazione ci permette di concludere che in entrambi i casi la somma degli angoli esterni presenta il medesimo valore.

    Come si ricava la somma degli esterni di un triangolo

    Consideriamo i tre angoli esterni del triangolo riportati in una delle due figure, non importa quale. Osserviamo che ciascun angolo esterno e il corrispondente angolo interno sono angoli adiacenti; in quanto tali la somma delle loro ampiezze è 180°.

    In formule:

    \alpha + \alpha' = \beta + \beta' = \gamma + \gamma' = 180^{\circ}

    La somma di tutti questi angoli è uguale a tre angoli piatti

    \alpha + \alpha' + \beta + \beta' + \gamma + \gamma' = 180^{\circ} + 180^{\circ} + 180^{\circ} = 540^{\circ}

    Dalla relazione precedente ricaviamo la formula che permette di trovare la somma degli angoli esterni del triangolo:

    \alpha'+\beta'+\gamma'=540^{\circ}-(\alpha+\beta+\gamma)

    Notiamo che \alpha+\beta+\gamma è la somma degli angoli interni del triangolo, che sappiamo essere uguale a 180°.

    \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}

    Ricaviamo quindi:

    \alpha'+\beta'+\gamma'=540^{\circ}-(\alpha+\beta+\gamma) = 540^{\circ}-180^{\circ} = 360^{\circ}

    Dato che abbiamo effettuato la dimostrazione senza servirci di alcuna proprietà particolare, possiamo concludere che la somma degli angoli esterni di un triangolo qualsiasi è 360°; che sia scaleno, isoscele, rettangolo o equilatero non importa.

    ***

    Nel salutarvi ci teniamo a precisare che la somma degli angoli esterni di un poligono qualsiasi è sempre 360°, qualsiasi sia il numero dei suoi lati; nella pagina del link trovate la dimostrazione.

    Se invece vi occorre un formulario sul triangolo - click!

    Risposta di Galois
 
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