Calcolare una derivata direzionale

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Non riesco a calcolare la derivata direzionale di una funzione, un esercizio mi chiede di determinarla usando sia la definizione sia la formula del gradiente...Chi mi aiuta per favore?

Si calcoli la derivata direzionale di f(x,y) = exsen(y) nel punto (1,∏) rispetto al versore (3/5,4/5), prima usando la definizione di derivata direzionale, poi usando la formula del gradiente.

Heeeeelp, sono una frana in matematica! Grazie :)

Domanda di Francy91

 
Soluzioni

  • Ciao Francy91, il tempo di scrivere la risposta ed avrai lo svolgimento ;)

    Risposta di Ifrit

  • Se non ho capito male la funzione è:

    f(x, y) = e^x sin(y)

    il punto in cui calcolare è (1, π) rispetto al versore v = ((3)/(5), (4)/(5)), giusto?.

    Partiamo con la definizione di derivata direzionale

    (d)/(d v)f(1, π): = lim_(h → 0)(f(1+(3)/(5)h, π+(4)/(5)h)-f(1, π))/(h)

    Concentriamoci sul limite:

    lim_(h → 0)(f(1+(3)/(5)h, π+(4)/(5)h)-f(1, π))/(h) = lim_(h → 0)(e^(1+(3)/(5) h) sin(π+(4)/(5) h))/(h)

    A questo punto osserva che:

    • sin(π+(4)/(5)h) = -sin((4)/(5)h)

    Il nostro limite quindi si esprime come:

      lim_(h → 0)-(e^(1+(3)/(5) h) sin((4)/(5) h))/(h)

    Bene! Ora il fattore -e^(1+(3)/(5)h) longrightarrow-e quando h longrightarrow 0.

    I problemi sorgono con il fattore:

    (sin((4)/(5) h))/(h)

    per il quale abbiamo una forma indeterminata [0/0], facilmente risolvibile con le stime asintotiche, infatti: 

    sin((4)/(5) h) ~ (4)/(5) h

    quando h tende a zero, di conseguenza:

    lim_(h → 0)(sin((4)/(5) h))/(h) = lim_(h → 0)(4h)/(5h) = (4)/(5)

    Ricomponendo i pezzi:

    lim_(h → 0)(f(1+(3)/(5)h, π+(4)/(5)h)-f(1, π))/(h) = -(4)/(5) e

    Adesso andiamo a calcolare la derivata direzionale col la formula del gradiente:

    Ricordiamo che sussiste la seguente formula per il calcolo della derivata direzionale rispetto al versore v

    (d)/(dv)f(1, π) = langle nabla f(1,π) , v rangle

    Nel nostro caso:

    nabla f(x,y) = (e^x sin(y), e^x cos(y))

    Valutiamolo in (1, π):

    nabla f(1,π) = (0,-e)

    dunque:

    (d)/(dv)f(1, π) = langle (0,-e) , (3/5, 4/5) rangle = 0* 3/5+(-e)*4/5 = -(4)/(5) e

     

    Se hai domande da pormi, sono qui ;)

    Risposta di Ifrit
 
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