Soluzioni
  • Ciao Francy91, il tempo di scrivere la risposta ed avrai lo svolgimento ;)

    Risposta di Ifrit
  • Se non ho capito male la funzione è:

    f(x, y)= e^x \sin(y)

    il punto in cui calcolare è (1, \pi) rispetto al versore \mathbf{v}= \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right), giusto?.

    Partiamo con la definizione di derivata direzionale

    \frac{d}{d \mathbf{v}}f(1, \pi):= \lim_{h\to 0}\frac{f\left(1+\frac{3}{5}h, \pi +\frac{4}{5}h\right)-f(1, \pi)}{h}

    Concentriamoci sul limite:

     \lim_{h\to 0}\frac{f\left(1+\frac{3}{5}h, \pi +\frac{4}{5}h\right)-f(1, \pi)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{e^{1+\frac{3}{5} h} \sin\left(\pi +\frac{4}{5} h\right)}{h}

    A questo punto osserva che:

    \sin\left(\pi +\frac{4}{5}h\right)= -\sin\left(\frac{4}{5}h\right)

    Il nostro limite quindi si esprime come:

      \lim_{h\to 0}-\frac{e^{1+\frac{3}{5} h} \sin\left(\frac{4}{5} h\right)}{h}

    Bene! Ora il fattore -e^{1+\frac{3}{5}h}\longrightarrow -e quando h\longrightarrow 0.

    I problemi sorgono con il fattore:

    \frac{\sin\left(\frac{4}{5} h\right)}{h}

    per il quale abbiamo una forma indeterminata [0/0], facilmente risolvibile con le stime asintotiche, infatti: 

    \sin\left(\frac{4}{5} h\right)\sim \frac{4}{5} h

    quando h tende a zero, di conseguenza:

    \lim_{h\to 0}\frac{\sin\left(\frac{4}{5} h\right)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{4h}{5h}= \frac{4}{5}

    Ricomponendo i pezzi:

     \lim_{h\to 0}\frac{f\left(1+\frac{3}{5}h, \pi +\frac{4}{5}h\right)-f(1, \pi)}{h}= -\frac{4}{5} e


    Adesso andiamo a calcolare la derivata direzionale col la formula del gradiente:

    Ricordiamo che sussiste la seguente formula per il calcolo della derivata direzionale rispetto al versore \mathbf{v}

    \frac{d}{d\mathbf{v}}f(1, \pi)=\langle \nabla f(1,\pi) , \mathbf{v}\rangle

    Nel nostro caso:

    \nabla f(x,y) = \left(e^x \sin(y), e^x \cos(y)\right)

    Valutiamolo in (1, \pi):

    \nabla f(1,\pi) = \left(0, -e\right)

    dunque:

    \frac{d}{d\mathbf{v}}f(1, \pi)=\langle (0,-e) , \left(3/5, 4/5\right)\rangle= 0* 3/5+(-e)*4/5= -\frac{4}{5} e

     

    Se hai domande da pormi, sono qui ;)

    Risposta di Ifrit
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