Soluzioni
  • La formula del delta stabilisce che il delta di un'equazione di secondo grado si ottiene dalla differenza tra il quadrato del coefficiente del termine di primo grado e il quadruplo del prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado e il termine noto.

    Molto più semplice da esprimere coi simboli che a parole. In generale, se consideriamo l'equazione di secondo grado

    ax^2+bx+c=0, \mbox{ con } a \neq 0

    la formula per calcolare il delta è la seguente

    \Delta=b^2-4ac

    Come potete osservare b è il coefficiente del termine di primo grado, di cui si deve calcolare il quadrato. Va poi sottratto il quadruplo del prodotto tra a \mbox{ e } c che sono, rispettivamente, il coefficiente del termine di secondo grado e il termine noto.

    Dopo aver trovato il delta, dallo studio del suo segno possiamo dedurre le informazioni sul numero e sul tipo di soluzioni che ha un'equazione di secondo grado, per poi calcolarle. Nello specifico:

    - se \Delta>0 l'equazione ha due soluzioni reali e distinte;

    - se \Delta=0 l'equazione ammette due radici reali coincidenti;

    - se \Delta<0 l'equazione non è risolvibile nell'insieme R dei numeri reali, ma ammette due radici complesse e coniugate.

    Indicando con x_{1,2} le due soluzioni di un'equazione di secondo grado, in tutti e tre i casi tali soluzioni si ottengono applicando la formula che segue

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

    Esempi di applicazione della formula del delta

    1) 7x^2-9x+2=0

    Per effettuare il calcolo del delta dobbiamo usare la formula vista poc'anzi

    \Delta=b^2-4ac

    dove, al posto di a, \ b \mbox{ e } c vanno sostituiti, rispettivamente, i numeri 7, -9 e 2.

    \Delta=b^2-4ac=(-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25

    Poiché il delta è un numero maggiore di zero, l'equazione data ammette due soluzioni reali e distinte.

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 \pm 5}{14}

    Ossia

    \\ x_1 = \frac{9-5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \\ \\ \\ x_2 = \frac{9+5}{14} = \frac{14}{14}=1

    2) \sqrt{2}x^2+4x+2\sqrt{2}=0

    Applichiamo la formula del delta sostituendo

    \\ a \to \sqrt{2} \\ \\ b \to 4 \\ \\ c \to 2\sqrt{2}

    Avendo chiaro come si svolge il prodotto tra radicali si ottiene

    \Delta=b^2-4ac=4^2 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 16 - 16 = 0

    Il delta è nullo, ragion per cui l'equazione ha due radici reali coincidenti

    x_1 = x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-4}{2\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}

    Nell'ultimo passaggio abbiamo effettuato una semplice razionalizzazione.

    3) 3x^2-5x+4=0

    Nell'equazione data a=3, \ b=-5, \ c=4, pertanto

    \Delta=b^2-4ac=(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23

    Il delta è negativo, quindi l'equazione non ha radici reali.

    Formula delta quarti

    Se in un'equazione di secondo grado il coefficiente del termine di primo grado è un multiplo di 2, invece della formula del delta si può usare la formula del delta quarti.

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac

    Se si sceglie di usare la formula del delta quarti, le soluzioni dell'equazione sono date da

    x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}

    L'uso del delta quarti ha il solo scopo di semplificare i calcoli; calcolare il delta o il delta quarti (dove possibile) è del tutto indifferente: le informazioni che si deducono sull'equazione in esame sono le stesse, e identiche sono le soluzioni.

    Esempio di applicazione formula delta quarti

    x^2+2x-8=0

    Poiché il coefficiente del termine di primo grado è uguale a 2, che è un multiplo di 2, possiamo usare la formula del delta quarti

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac = \left(\frac{2}{2}\right)^2 - 1 \cdot (-8) = 1^2 + 8 = 1 + 8 = 9

    L'equazione ha quindi due radici reali e distinte, date da

    x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a} = \frac{-1 \pm 3}{1} = -1 \pm 3

    Di conseguenza

    x_1 = -1-3=-4 \\ \\ x_2=-1+3=2

    Lasciamo a voi il compito di applicare la formula del delta e verificare che si ottengono le stesse soluzioni. ;)

    ***

    Con questo è tutto! Per memorizzare la formula del delta vi consigliamo di fare molti esercizi, e a tal proposito potete fare uso della nostra scheda di esercizi sulle equazioni di secondo grado.

    Se invece volete sapere come si ricava la formula del delta rimandiamo alla nostra pagina sulla formula del discriminante.

    Risposta di Galois
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