Soluzioni
  • Il calcolo del delta di un'equazione di secondo grado si effettua elevando al quadrato il coefficiente del termine di primo grado e sottraendo il quadruplo del prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado e il termine noto.

    In simboli è certamente più semplice che a parole. In generale, se consideriamo l'equazione di secondo grado

    ax^2+bx+c, \mbox{ con } a \neq 0

    il calcolo del delta si svolge usando la seguente formula:

    \Delta=b^2-4ac

    dove b è il coefficiente del termine di primo grado, a è il coefficiente del termine di secondo grado e c è il termine noto.

    Esempi sul calcolo del delta

    1) 3x^2-7x+4=0

    Nell'equazione abbiamo a=3, \ b=-7, \ c=4.

    Usando la formula del delta si ottiene

    \Delta=b^2-4ac=(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1

    2) 25x^2+10x+1=0

    Per calcolare il delta dell'equazione assegnata applichiamo la formula e sostituiamo

    a=25\ ,\ b=10\ ,\ c=1

    per cui

    \Delta=b^2-4ac=10^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0

    3) x^2+x+1=0

    Ormai dovrebbe essere chiaro come procedere. ;)

    \Delta=b^2-4ac=1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3

    Calcolo delta quarti

    Se in un'equazione di secondo grado

    ax^2+bx+c=0, \mbox{ con } a\neq 0

    il coefficiente del termine di primo grado (b), è un multiplo di 2, invece di calcolare il delta si può procedere al calcolo del delta quarti

    \frac{\mbox{\Delta}}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac

    La formula del delta quarti ha il solo scopo di semplificare i conti: le soluzioni delle equazioni saranno sempre le stesse, indipendentemente dal fatto che si scelga di calcolare il delta o il delta quarti (dove possibile).

    Esempio sul calcolo del delta quarti

    5x^2-4x-9=0

    Poiché il coefficiente del termine di primo grado è b=-4, che è un multiplo di 2, possiamo calcolare il delta quarti associato all'equazione data, dove a=5 \mbox{ e } c=-9

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac = \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 5 \cdot (-9) = (-2)^2 + 45 = 4 + 45 = 49

    A cosa serve calcolare il delta

    Il calcolo del delta è il punto di partenza per risolvere un'equazione di secondo grado. Il solo segno del delta (o del delta quarti) ci dice se l'equazione che vogliamo risolvere ha soluzioni reali, e quante ne ha. In particolare:

    - se il delta è maggiore di zero (\Delta > 0), l'equazione ha due radici reali e distinte;

    - se il delta è uguale a zero (\Delta = 0), l'equazione ammette due radici reali coincidenti;

    - se il delta è minore di zero (\Delta < 0), l'equazione non ha radici reali, ma due radici complesse coniugate.

    In tutti e tre i casi, per trovare le soluzioni bisogna dapprima calcolare il delta e poi usare la formula riportata qui di seguito:

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

    Se invece del delta si sceglie di calcolare il delta quarti, la formula per trovare le soluzioni è:

    x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}

    Con questo è tutto! Per sapere come si ricava la formula del discriminante rimandiamo alla pagina del link, se invece volete allenarvi sul calcolo del delta potete consultare la nostra scheda di esercizi sulle equazioni di secondo grado.

    Risposta di Galois
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