Soluzioni
  • La derivata di un numero vale 0, e lo si dimostra attraverso la definizione di derivata, ossia calcolando il limite del rapporto incrementale della funzione costante in un generico punto x.

    \forall a \in \mathbb{R}: \ \frac{d}{dx}[a] = 0

    La formula precedente si legge: per ogni a appartenente all'insieme R dei numeri reali, la derivata prima di a è zero.

    Prima di vedere perché la derivata di un numero è 0 è necessario fare una piccola premessa. Il concetto di derivata si applica alle funzioni e non ai numeri, quindi invece di derivata di un numero sarebbe più corretto parlare di derivata di una funzione costante, cioè della derivata di una funzione della forma

    f(x)=a, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

    Chiarito ciò vediamo perché la derivata di un numero è zero.

    Scriviamo la definizione di derivata

    \frac{d}{dx}[f(x)]=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Nel caso in esame la funzione f(x) è un numero, o per meglio dire una funzione costante che vale identicamente a per ogni valore assunto dalla variabile x, dove a è un qualsiasi numero reale.

    Di conseguenza

    f(x+h)=f(x)=a

    Sostituendo nella definizione di derivata otteniamo

    \frac{d}{dx}[a]=\lim_{h \to 0} \frac{a-a}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h}=0

    Il numeratore dell'ultima frazione è proprio 0, mentre il denominatore è una quantità che tende a 0; di conseguenza il limite in esame vale 0 e non è una forma indeterminata.

    Possiamo così concludere che la derivata di un qualsiasi numero è 0:

    \frac{d}{dx}[a]=0 \ \forall a \in \mathbb{R}

    Con questo è tutto! Per una tabella di riepilogo sulle derivate notevoli - click!

    Risposta di Galois
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