Soluzioni
  • La moltiplicazione tra potenze si svolge in modi differenti a seconda di come presentano le potenze da moltiplicare tra loro; nello specifico, si usano le proprietà delle potenze quando siamo di fronte a potenze aventi la stessa base o lo stesso esponente.

    Se invece le due potenze hanno sia la base che l'esponente diverso non c'è nessuna proprietà da poter applicare e bisogna procedere al calcolo diretto delle due potenze per poi moltiplicare i risultati ottenuti.

    Qui di seguito abbiamo elencato i vari casi che si possono presentare, spiegando come procedere e mostrando svariati esempi.

    Moltiplicazione tra potenze con la stessa base

    La moltiplicazione tra potenze con la stessa base è una nuova potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. In formule:

    a^n \cdot a^m = a^{n+m}

    Esempi

    1) 3^2 \cdot 3^3

    Siamo di fronte a una moltiplicazione tra potenze aventi la stessa base; di conseguenza, il risultato della moltiplicazione è una potenza che ha per base la stessa base (3) e per esponente la somma degli esponenti (3+2=5).

    3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243

    2) \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{2}

    Anche in questo caso la base delle tre potenze è la stessa, quindi il risultato della moltiplicazione sarà una frazione con potenza avente come base 1/2 e come esponente la somma degli esponenti.

    \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2+3+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}

    3) \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \cdot 5^3

    Sebbene le basi delle due potenze da moltiplicare potrebbero sembrare diverse, possiamo renderle uguali usando la definizione delle potenze con esponente negativo.

    Una potenza con esponente negativo può essere riscritta eliminando il segno meno dall'esponente e passando al reciproco della base.

    \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2

    In questo modo

    \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \cdot 5^3 = 5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 = 3125

    Moltiplicazione tra potenze con lo stesso esponente

    La moltiplicazione tra potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

    a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n

    Esempi

    1) 3^2 \cdot 5^2

    Il risultato di questa moltiplicazione è una potenza avente come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente, quindi

    3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2 = 225

    2) 2^3 \cdot 3^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3

    Le tre potenze da moltiplicare hanno stesso esponente e base diverse; possiamo allora applicare la proprietà appena ricordata, moltiplicando tra loro le basi e lasciando invariato l'esponente.

    2^3 \cdot 3^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \left(2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}\right)^3 = \left(6 \cdot \frac{1}{6}\right)^3 = 1^3 = 1

    3) \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 7^{-2} \cdot 28^2

    L'esponente della seconda potenza è diverso dagli altri due, ma possiamo renderlo uguale sfruttando la proprietà delle potenze con esponente negativo.

    7^{-2} = \left(\frac{1}{7}\right)^2

    Ci siamo ricondotti a un prodotto tra potenze aventi lo stesso esponente, e sappiamo come procedere.

    \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 7^{-2} \cdot 28^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot 28^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} \cdot 28\right)^2 = 2^2 = 4

    Moltiplicazione tra potenze con base ed esponente diversi

    Se le potenze da moltiplicare hanno base ed esponenti diversi, e non c'è nessun modo per renderli uguali, non possiamo applicare nessuna proprietà. Per svolgere la moltiplicazione si deve necessariamente calcolare il valore delle potenze per poi moltiplicarne i risultati.

    Esempi

    \\ 3^2 \cdot 2^3 = 9 \cdot 8 = 72 \\ \\ \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot 5^2 = \frac{1}{8} \cdot 25 = \frac{25}{8} \\ \\ 3^3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 2^4 = 27 \cdot \frac{1}{25} \cdot 16 = \frac{432}{25}

    Non c'è altro da dire! Se vi occorre un formulario sulle potenze potete consultare la pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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