Moltiplicazione tra potenze

La moltiplicazione tra potenze è una moltiplicazione in cui i fattori sono potenze, e si svolge in modi diversi a seconda che le potenze da moltiplicare abbiano la stessa base, oppure lo stesso esponente, o ancora basi diverse ed esponenti diversi.

Ecco qualche esempio di moltiplicazioni tra potenze:

• è una moltiplicazione tra potenze con la stessa base;

• è una moltiplicazione tra potenze con lo stesso esponente;

• è una moltiplicazione tra potenze con basi diverse ed esponenti diversi.

Prima di vedere come si procede nei vari casi ricordiamo che il risultato di una moltiplicazione tra potenze si chiama prodotto di potenze o, più semplicemente, prodotto.

Moltiplicazione tra potenze con la stessa base

La moltiplicazione tra potenze con la stessa base è una nuova potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Dimostrazione della formula per la moltiplicazione tra potenze con la stessa base

Per dimostrare la proprietà

basta usare la definizione di potenza e riscrivere i fattori come moltiplicazioni ripetute

Esempi di moltiplicazioni tra potenze con la stessa base

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Abbiamo una moltiplicazione tra potenze con la stessa base; di conseguenza il risultato della moltiplicazione è una potenza che ha per base la stessa base (3) e per esponente la somma degli esponenti (3+2=5).

Per controllare se il risultato è corretto possiamo dapprima sviluppare le potenze e successivamente calcolare il prodotto, proprio come faremmo se non fossimo a conoscenza della suddetta proprietà:

• La stessa proprietà vale anche quando si considerano potenze di frazioni

• Vediamo un altro esempio leggermente più complicato

Le basi delle potenze da moltiplicare sembrano diverse, ma possiamo renderle uguali applicando la definizione di potenza con esponente negativo, secondo cui una potenza con esponente negativo può essere riscritta eliminando il segno meno dall'esponente e passando al reciproco della base

In questo modo:

Moltiplicazione tra potenze con lo stesso esponente

La moltiplicazione tra potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Dimostrazione della formula per la moltiplicazione tra potenze con lo stesso esponente

Per dimostrare la proprietà della moltiplicazione tra potenze con lo stesso esponente riscriviamo le potenze come moltiplicazioni ripetute

ed applichiamo la proprità commutativa della moltiplicazione

Esempi di moltiplicazioni tra potenze con lo stesso esponente

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Le basi delle potenze sono diverse, ma hanno lo stesso esponente, per cui il risultato di questa moltiplicazione è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente

Verifichiamo che il risultato è corretto sviluppando prima le potenze e calcolando poi il prodotto:

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Le potenze da moltiplicare hanno stesso esponente e basi diverse; possiamo allora applicare la relativa proprietà e moltiplicare tra loro le basi, lasciando invariato l'esponente.

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L'esponente della seconda potenza è diverso dagli altri due, ma possiamo renderlo uguale sfruttando la proprietà delle potenze con esponente negativo.

Ci siamo ricondotti a una moltiplicazione tra potenze con lo stesso esponente, e sappiamo come procedere:

Moltiplicazione tra potenze con basi diverse ed esponenti diversi

Se le potenze da moltiplicare hanno basi ed esponenti diversi, e non c'è nessun modo per renderli uguali, non possiamo applicare alcuna proprietà.

Per svolgere la moltiplicazione si devono necessariamente sviluppare le potenze e, successivamente, calcolare il prodotto.

Esempi di moltiplicazioni tra potenze con basi diverse ed esponenti diversi

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Non c'è altro da dire, se non lasciare qualche spunto di approfondimento:

- lezione introduttiva sulle potenze;

- proprietà delle potenze;

- formulario sulle potenze;

- tool per calcolare le potenze online.