Binomio alla quarta

Un binomio alla quarta è la potenza di un binomio con esponente 4, dunque è dato dalla somma o dalla differenza di due monomi elevate a potenza con esponente è 4, e si sviluppa con il triangolo di Tartaglia oppure con il metodo di Newton.

Detti due qualsiasi monomi, il binomio alla quarta con somma è , mentre il binomio alla quarta con differenza è .

I rispettivi sviluppi sono dati da:

Sconsigliamo di imparare gli sviluppi del binomio alla quarta a memoria perché si possono ricavare agevolmente ricorrendo al triangolo di Tartaglia.

Sviluppo del binomio alla quarta con il triangolo di Tartaglia

Il triangolo di Tartaglia è uno strumento che serve a calcolare i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio qualsiasi: una volta costruito, gli elementi della (n+1)-esima riga del triangolo corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio .

Poiché il nostro intento è scrivere lo sviluppo di un binomio alla quarta dobbiamo costruire il triangolo di Tartaglia e arrestarci alla quinta riga.

Da qui vediamo che 1, 4, 6, 4, 1 sono i coefficienti dei termini degli sviluppi del binomio alla quarta con somma e del binomio alla quarta con differenza.

Per scrivere la parte letterale di ciascun sviluppo si devono considerare i due monomi che formano il binomio di partenza (compreso il segno) e considerare le loro potenze, partendo dall'esponente 0 e fino ad arrivare all'esponente 4.

In particolare, andranno moltiplicate tra loro facendo in modo che nel passaggio da un termine all'altro dello sviluppo:

- le potenze del primo monomio, partendo dall'esponente 4, diminuiscano fino a raggiungere l'esponente 0;

- le potenze del secondo monomio, partendo dall'esponente 0, aumentino fino a raggiungere l'esponente 4.

Sviluppo del binomio (a+b)^4

Mettendo in pratica quanto visto finora, scriviamo lo sviluppo del binomio .

I due monomi che formano il binomio di partenza sono .

Iniziamo con lo scrivere la parte letterale dello sviluppo, mettendo dei puntini dove poi andranno inseriti i coefficienti:

Le potenze del primo monomio partono dall'esponente 4 e decrescono fino ad arrivare all'esponente 0; viceversa, le potenze del secondo monomio partono dall'esponente 0 e crescono fino a raggiungere l'esponente 4.

Al posto dei puntini inseriamo i coefficienti nell'ordine in cui sono riportati nel triangolo di Tartaglia: 1, 4, 6, 4 , 1.

Abbiamo ottenuto lo sviluppo cercato, che può scritto in maniera più ordinata riscrivendo le potenze alla zero come 1

Sviluppo del binomio (a-b)^4

Per ricavare lo sviluppo del binomio alla quarta consideriamo dapprima i due monomi e scriviamo la parte letterale dello sviluppo.

Al posto dei puntini inseriamo i coefficienti della quinta riga del triangolo di Tartaglia

Calcoliamo le potenze del monomio e, dopo qualche semplice conto algebrico, ricaviamo lo sviluppo cercato

Sviluppo del binomio alla quarta col metodo di Newton

Un altro metodo che permette di scrivere lo sviluppo del binomio alla quarta prevede di usare il binomio di Newton; solitamente è un argomento che non si tratta nella Scuola Superiore, ma se per curiosità volete vedere di cosa si tratta potete consultare la pagina del link.

***

Con questo è tutto! Per un ripasso sui prodotti notevoli - click!