Soluzioni
  • Un binomio alla quarta è la potenza di un binomio con esponente 4, cioè è formato dalla somma o dalla differenza di due monomi elevate a potenza il cui esponente è 4.

    Detti A \mbox{ e } B due qualsiasi monomi, il binomio alla quarta con somma è (A+B)^4, mentre il binomio alla quarta con differenza è (A-B)^4.

    Il rispettivi sviluppi sono dati da:

    \\ (A+B)^4= A^4+4A^3B+6A^2B^2+4AB^3+B^4 \\ \\ (A-B)^4=A^4-4A^3B+6A^2B^2-4AB^3+B^4

    Sconsigliamo di imparare gli sviluppi del binomio alla quarta a memoria perché si possono ricavare agevolmente ricorrendo al triangolo di Tartaglia.

    Sviluppo del binomio alla quarta con il triangolo di Tartaglia

    Il triangolo di Tartaglia è uno strumento che serve a calcolare i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio qualsiasi: una volta costruito, gli elementi della (n+1)-esima riga del triangolo corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a+b)^n.

    Poiché il nostro intento è scrivere lo sviluppo di un binomio alla quarta dobbiamo costruire il triangolo di Tartaglia e arrestarci alla quinta riga.

    \begin{array}{ccccccccc}&&&&1 \\ &&&1&&1 \\ &&1&&2&&1 \\ &1&&3&&3&&1 \\ 1&&4&&6&&4&&1\end{array}

    Da qui vediamo che 1, 4, 6, 4, 1 sono i coefficienti dei termini degli sviluppi del binomio alla quarta con somma e del binomio alla quarta con differenza.

    Per scrivere la parte letterale di ciascun sviluppo si devono considerare i due monomi che formano il binomio di partenza (compreso il segno) e considerare le loro potenze, partendo dall'esponente 0 e fino ad arrivare all'esponente 4.

    In particolare, andranno moltiplicate tra loro facendo in modo che nel passaggio da un termine all'altro dello sviluppo:

    - le potenze del primo monomio, partendo dall'esponente 4, diminuiscano fino a raggiungere l'esponente 0;

    - le potenze del secondo monomio, partendo dall'esponente 0, aumentino fino a raggiungere l'esponente 4.

    Sviluppo del binomio (a+b)^4

    Mettendo in pratica quanto visto finora, scriviamo lo sviluppo del binomio (a+b)^4.

    I due monomi che formano il binomio di partenza sono a \mbox{ e } b.

    Iniziamo con lo scrivere la parte letterale dello sviluppo, mettendo dei puntini dove poi andranno inseriti i coefficienti:

    (a+b)^4=... \ a^4 \cdot b^0+... \ a^3 \cdot b^1+... \ a^2 \cdot b^2+... \ a^1 \cdot b^3+... \ a^0 \cdot b^4

    Le potenze del primo monomio partono dall'esponente 4 e decrescono fino ad arrivare all'esponente 0; viceversa, le potenze del secondo monomio partono dall'esponente 0 e crescono fino a raggiungere l'esponente 4.

    Al posto dei puntini inseriamo i coefficienti nell'ordine in cui sono riportati nel triangolo di Tartaglia: 1, 4, 6, 4 , 1.

    (a+b)^4= 1 \cdot a^4 \cdot b^0+ 4 \cdot a^3 \cdot b^1+ 6 \cdot a^2 \cdot b^2+ 4 \cdot a^1 \cdot b^3+ 1 \cdot a^0 \cdot b^4

    Abbiamo ottenuto lo sviluppo cercato, che può scritto in maniera più ordinata riscrivendo le potenze alla zero come 1

    (a+b)^4= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

    Sviluppo del binomio (a-b)^4

    Per ricavare lo sviluppo del binomio alla quarta (a-b)^4 consideriamo dapprima i due monomi a \mbox{ e } (-b) e scriviamo la parte letterale dello sviluppo.

    (a-b)^4= ... \ a^4 \cdot (-b)^0 + ... \ a^3 \cdot (-b)^1 + ... \ a^2 \cdot (-b)^2 + ... \ a^1 \cdot (-b)^3 + ... \ a^0 \cdot (-b)^4

    Al posto dei puntini inseriamo i coefficienti della quinta riga del triangolo di Tartaglia

    (a-b)^4= 1 \cdot a^4 \cdot (-b)^0 + 4 \cdot a^3 \cdot (-b)^1 + 6 \cdot a^2 \cdot (-b)^2 + 4 \cdot a^1 \cdot (-b)^3 + 1 \cdot a^0 \cdot (-b)^4

    Calcoliamo le potenze del monomio -b e, dopo qualche semplice conto algebrico, ricaviamo lo sviluppo cercato

    (a-b)^4= a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4

    Sviluppo del binomio alla quarta col metodo di Newton

    Un altro metodo che permette di scrivere lo sviluppo del binomio alla quarta prevede di usare il binomio di Newton; solitamente è un argomento che non si tratta nella Scuola Superiore, ma se per curiosità volete vedere di cosa si tratta potete consultare la pagina del link.

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    Risposta di Galois
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