Soluzioni
  • Le frazioni con potenze sono frazioni in cui il numeratore, il denominatore, o l'intera frazione sono elevati a potenza; per risolvere un'espressione contenente frazioni con potenze è sufficiente conoscere le regole sulle operazioni tra frazioni.

    Qui di seguito abbiamo riportato alcuni esempi di frazioni con potenze.

    \left(\frac{1}{3}\right)^2, \ \ \frac{2^3}{5^2}, \ \ \left(\frac{8}{7}\right)^{-1}, \ \ \left(\frac{5}{4}\right)^{3}, \ \ \ \frac{1}{2^4}

    Come si fanno le frazioni con potenze

    Per semplificare una frazione con potenze si deve calcolare la potenza della frazione, ossia:

    - calcolare la potenza del numeratore e del denominatore, se l'intera frazione è elevata a potenza;

    - trovare la potenza del numeratore, se è elevato a potenza solo il numeratore;

    - calcolare la potenza del denominatore, se è elevato a potenza solo il denominatore.

    Se l'intera frazione di cui dobbiamo calcolare la potenza è preceduta dal segno meno, per evitare di commettere errori di segno consigliamo di spostare dapprima il segno meno al numeratore e poi procedere all'elevamento a potenza.

    Prima di mostrare qualche esempio, ricordiamo che elevare un numero a potenza vuol dire moltiplicare il numero tante volte per se stesso quanto indicato dall'esponente.

    Esempi sul calcolo delle frazioni con potenze

    \\ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} \\ \\ \\ \frac{2^3}{25} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{25} = \frac{8}{25} \\ \\ \\ \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27} \\ \\ \\ \left(-\frac{1}{8}\right)^2 = \left(\frac{-1}{8}\right)^2 = \frac{(-1) \cdot (-1)}{8 \cdot 8} = \frac{1}{64} \\ \\ \\ \left(-\frac{4}{7}\right)^3=\left(\frac{-4}{7}\right)^3=\frac{(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)}{7 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{-64}{343}=-\frac{64}{343}

    Frazioni con potenze negative

    Una frazione con potenza negativa è una frazione elevata a potenza il cui esponente è un numero negativo. Per calcolare questo tipo di frazioni è sufficiente:

    - trovare il reciproco della frazione di partenza scambiando il numeratore col denominatore;

    - eliminare il segno meno dall'esponente;

    - calcolare la potenza della frazione così ottenuta.

    Esempi su frazioni con potenze negative

    \\ \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4} \\ \\ \\ \left(\frac{1}{12}\right)^{-1} = \left(\frac{12}{1}\right)^1 = 12 \\ \\ \\ \left(-\frac{3}{5}\right)^{-3}=\left(-\frac{5}{3}\right)^3 = \left(\frac{-5}{3}\right)^3 = \frac{(-5)^3}{3^3} = \frac{-125}{27} = - \frac{125}{27}

    Proprietà delle frazioni con potenze

    Per le frazioni con potenze valgono tutte le proprietà delle potenze che si studiano per i numeri interi, quindi non c'è nulla di nuovo da imparare. Tuttavia, per non lasciare spazio a dubbi, abbiamo elencato tutte le proprietà delle frazioni con potenze, che è indispensabile conoscere se si vogliono risolvere le espressioni contenenti frazioni con potenze.

    1) il prodotto di due frazioni con potenze aventi come base la stessa frazione è una potenza che ha per base la frazione di partenza e come esponente la somma degli esponenti.

    \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n+m}, \mbox{ con } b \neq 0

    2) Il quoziente di due frazioni con potenze aventi come base la stessa frazione è una potenza che ha per base la frazione di partenza e come esponente la differenza degli esponenti.

    \left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{a}{b}\right)^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n-m}, \mbox{ con } b \neq 0

    3) La potenza di una frazione elevata a potenza è una potenza che ha per base la frazione di partenza e come esponente il prodotto degli esponenti.

    \left[\left(\frac{a}{b}\right)^n\right]^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n \cdot m}, \mbox{ con } b \neq 0

    4) Il prodotto di due frazioni con potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle frazioni e per esponente lo stesso esponente.

    \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right)^n, \mbox{ con } b, d \neq 0

    5) Il quoziente di due frazioni con potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle frazioni e per esponente lo stesso esponente.

    \left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b} : \frac{c}{d}\right)^n, \mbox{ con } b,c,d \neq 0

    Espressioni contenenti frazioni con potenze

    Le espressioni contenenti frazioni con potenze sono espressioni con potenze in cui buona parte delle basi sono frazioni. Per risolvere questo tipo di espressioni è necessario saper svolgere le operazioni tra frazioni, conoscere le proprietà delle potenze e ricordare l'ordine delle operazioni: prima elevamento a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni, e infine addizioni e sottrazioni.

    A titolo di esempio svolgiamo insieme l'espressione che segue

    \left[\left(\frac{1}{2}\right)^3 : \left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^3 + \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)^2+16^{-1}

    Nella prima coppia di parentesi quadre possiamo applicare una delle proprietà delle potenze:

    \left(\frac{1}{2}\right)^3 : \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}

    Di conseguenza

    \left[\left(\frac{1}{2}\right)^3 : \left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^3 = \left[\frac{1}{2}\right]^3=\frac{1^3}{2^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{8}

    Dopo questo calcolo l'espressione di partenza diventa

    \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)^2+16^{-1}

    Nella coppia di parentesi tonde calcoliamo la sottrazione tra frazioni per poi elevare il risultato a potenza

    \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1-2}{4}\right)^2=\left(-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{(-1)^2}{4^2} = \frac{1}{16}

    Infine

    16^{-1} = \left(\frac{16}{1}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{16}\right)^{1} = \frac{1}{16}

    Ci siamo così ricondotti a una semplicissima espressione con frazioni

    \frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}

    Calcolando il denominatore comune e svolgendo i conti si ottiene

    \frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{2+1+1}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}

    Nell'ultimo passaggio abbiamo ridotto la frazione ai minimi termini.

    Esercizi sulle espressioni contenenti frazioni con potenze

    Ora tocca a voi! Provate a risolvere le espressioni con frazioni e potenze proposte qui di seguito.

    \\ \left\{\left[\left(\frac{3}{4}\right)^2 : \left(\frac{7}{2}-2\right)^2\right] : \left[\left(\frac{7}{2}-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{9}{34}\right]\right\}^7 : \left(\frac{1}{3}\right)^5 \\ \\ \\ \left\{\left[\left(\frac{3}{4}\right)^4:\left(\frac{3}{4}\right)^3\right]:\left[\left(\frac{3}{2}\right)^6:\left(\frac{3}{2}\right)^4\right]^2\right\} \cdot \left[\left(\frac{4}{7}+\frac{5}{4}\right):\frac{34}{14}\right]^2 \\ \\ \\ \left[\left(1+\frac{1}{2}\right)^3:\left(\frac{5}{2}-1\right)^3\right] - \left[\left(3-\frac{5}{3}\right):\frac{9}{4}+1-\frac{16}{27}\right]^2

    Per verificare la correttezza del risultato ottenuto potete usare il nostro tool risolvi espressioni - click!

    Risposta di Galois
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Algebra e Aritmetica