Soluzioni
  • Per calcolare la massa si procede in modi diversi a seconda delle informazioni di cui disponiamo. Il concetto di massa ricorre molto frequentemente in Fisica, quindi occorre scegliere la giusta formula sulla base dei dati iniziali.

    Tra un istante esamineremo i casi più frequenti negli esercizi e nelle applicazioni, ma prima è bene ricordare che la massa è una delle sette grandezze fondamentali del Sistema Internazionale e che è definita come la misura della quantità di materia di un corpo.

    Solitamente ci si riferisce alla massa indicandola con la lettera m ed esprimendola in chilogrammi.

    Calcolo della massa con densità e volume

    Per calcolare la massa conoscendo densità e volume bisogna moltiplicare la densità per il volume: m=ρ·V.

    Se indichiamo la densità con \rho, il volume con V e la massa con m, la formula per il calcolo della massa con densità e volume è la seguente:

    m=\rho \cdot V

    Esempio - calcolo della massa con densità e volume

    Un cilindro di ferro è alto 2 metri e il cerchio di base ha un raggio di 0,5 metri. Calcolare la massa del cilindro.

    Svolgimento: per trovare la massa del cilindro moltiplichiamo il volume del cilindro per la densità del ferro.

    Il volume del cilindro si ottiene moltiplicando l'area del cerchio di base per l'altezza del cilindro, quindi

    V=\pi \cdot r^2 \cdot h \simeq \\ \\ \simeq 3,14 \cdot \left(0,5 \mbox{ m}\right)^2 \cdot (2 \mbox{ m}) = 1,57 \mbox{ m}^3

    La densità del ferro è uguale a 7874 chilogrammi al metro cubo

    \rho_{Fe} = 7874 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}

    Moltiplicando il volume per la densità otteniamo la massa del cilindro:

    m=V \cdot \rho_{Fe} \simeq \\ \\ \simeq \left(1,57 \ \mbox{m}^3\right) \cdot \left(7874 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) = 12362,18 \mbox{ kg}

    Calcolo della massa con forza e accelerazione

    Dalla seconda legge di Newton sappiamo che la forza esercitata su un corpo è uguale al prodotto tra la massa del corpo e l'accelerazione che esso subisce sotto l'azione della forza. In formule:

    \vec{F} = m \cdot \vec{a}

    Da questa legge possiamo ricavare la formula inversa che permette di calcolare la massa conoscendo il valore della forza e quello dell'accelerazione:

    m=\frac{F}{a}

    Prima di vedere un esempio, facciamo notare che nella formula per il calcolo della massa abbiamo volutamente considerato i moduli di forza e accelerazione; questo perché la divisione tra vettori non esiste come operazione vettoriale.

    Esempio - calcolo della massa con forza e accelerazione

    Un corpo, inizialmente in quiete, si muove sotto l'azione di una forza di 36 newton con un'accelerazione di 0,5 m/s2. Qual è la sua massa?

    Svolgimento: per rispondere è sufficiente applicare la precedente formula, ossia dividere il modulo della forza per il valore dell'accelerazione:

    m=\frac{F}{a}=\frac{36 \mbox{ N}}{0,5 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}} = 72 \mbox{ kg}

    Calcolo della massa conoscendo il peso

    Per calcolare la massa conoscendo il peso di un corpo bisogna dividere il modulo del peso P per il valore dell'accelerazione di gravità, solitamente indicata con la lettera g. In formule:

    m=\frac{P}{g}

    L'accelerazione di gravità terrestre ha un valore approssimato di 9,81 m/s2

    g \simeq 9,81 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

    Prima di mostrare un esempio precisiamo che il peso è una forza, e in quanto tale si misura in newton o in chilogrammi forza; non a caso in Fisica ci si riferisce al peso chiamandolo forza peso.

    Per cogliere tutti gli aspetti sulla differenza tra massa e peso rimandiamo alla pagina del link.

    Esempio - calcolo della massa con il peso

    Sulla Terra un corpo ha un peso di 68,67 newton. Qual è la sua massa?

    Svolgimento: per calcolare la massa dividiamo il peso per l'accelerazione di gravità terrestre, quindi

    m=\frac{P}{g} \simeq \frac{68,67 \mbox{ N}}{9,81 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}} = 7 \mbox{ kg}

    Calcolo della massa con energia cinetica

    Indichiamo con K l'energia cinetica che possiede un corpo e con v il modulo della velocità del corpo. La formula che permette di trovare la massa è la seguente:

    m=\frac{2K}{v^2}

    In altri termini per calcolare la massa si deve dividere il doppio dell'energia cinetica per il quadrato del modulo della velocità.

    Nota bene: per ottenere la massa del corpo espressa in kg, l'energia cinetica deve essere espressa in joule e la velocità in metri al secondo.

    Esempio - calcolo della massa con energia cinetica

    Il signor Bianchi viaggia in treno alla velocità di 35 m/s e possiede un'energia cinetica di 49000 joule. Qual è la sua massa?

    Svolgimento: poiché conosciamo sia la velocità che l'energia cinetica, per calcolare la massa applichiamo la formula scritta precedentemente:

    m=\frac{2K}{v^2}=\frac{2 \cdot (49 \ 000 \mbox{ J})}{\left(35 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)^2} = 80 \mbox{ kg}

    Calcolo della massa con energia potenziale gravitazionale

    L'energia potenziale gravitazionale di un corpo si ricava mediante la formula:

    U=m \cdot g \cdot h

    dove m indica la massa del corpo, g l'accelerazione di gravità e h l'altezza del corpo rispetto al livello base del sistema di riferimento scelto.

    Invertendo la precedente formula otteniamo che la massa si calcola dividendo l'energia potenziale gravitazionale per il prodotto tra l'accelerazione di gravità e l'altezza del corpo rispetto al livello base:

    m=\frac{U}{g \cdot h}

    Esempio - calcolo della massa con energia potenziale gravitazionale

    Un cellulare, posto su una scrivania a un'altezza di 0,75 metri dal pavimento, possiede un'energia potenziale gravitazionale di 2,2 joule. Calcolare la massa del cellulare.

    Svolgimento: il valore dell'accelerazione di gravità terrestre è approssimabile a 9,81 m/s2

    g\simeq 9,81 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

    Inoltre dai dati forniti dal problema conosciamo l'energia potenziale gravitazionale e l'altezza rispetto al livello base:

    \\ U = 2,2 \mbox{ J} \\ \\ h=0,75 \mbox{ m}

    Per trovare la massa del cellulare dividiamo l'energia potenziale gravitazionale per il prodotto tra accelerazione di gravità e altezza:

    m=\frac{U}{g \cdot h} \simeq \frac{2,2 \mbox{ J}}{\left(9,81 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (0,75 \mbox{ m})} \simeq 0,3 \mbox{ kg}

    ***

    Per una panoramica completa di tutte le formule della massa, e per tutti gli approfondimenti del caso, ti rimandiamo alla lezione sulla massa - click!

    Risposta di Galois
 
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