Completare una base dell'intersezione di due sottospazi

Question

Dati due sottospazi vettoriali, uno definito da un'equazione cartesiana e l'altro da un sistema di generatori, si deve calcolare una base del sottospazio intersezione e, successivamente, la si deve completare a base dell'intero spazio. Vorrei chiedervi di mostrarmi come si procede. Siano dati i seguenti sottospazi vettoriali di R^3: ; U = (x,y,z) ∈ R^3 | x-y+2z = 0 ; V = Span((1,0,1), (3,1,2)) Calcolare una base del sottospazio intersezione U ∩ V e completarla a base di R^3.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

È noto che U e V sono due sottospazi vettoriali di R^3 così definiti ; U = (x,y,z) ∈ R^3 | x-y+2z = 0 ; V = Span((1,0,1), (3,1,2)) I nostri obiettivi sono: calcolare una base del sottospazio intersezione U ∩ V e, successivamente, completarla a base di R^3. Base del sottospazio intersezione Per trovare una base di U ∩ V procediamo come segue:-ricaviamo le equazioni cartesiane del sottospazio generato V;-calcoliamo una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni di U e da quelle di V. La base così ottenuta è una base di U ∩ V e non dobbiamo fare altro. Per determinare le equazioni cartesiane di V = Span((1,0,1), (3,1,2)) disponiamo i vettori che lo generano per colonne in una matrice A, a cui accostiamo un vettore colonna x di incognite (A|x) = [1 3 x ; 0 1 y ; 1 2 z] Applichiamo il metodo di eliminazione di Gauss alla matrice (A|x) fermandoci non appena otteniamo una riduzione a scala di A. Sostituiamo la terza riga di (A|x) con la somma tra l'opposta della prima riga e la terza ; R_3 → -R_1+R_3 = [-1 -3 -x]+[1 2 z] = [0 -1 -x+z] e otteniamo la matrice (A|x)' = [1 3 x ; 0 1 y ; 0 -1 -x+z] dopodiché sostituiamo la terza riga di (A|x)' con la somma tra la seconda e la terza ; R_3 → R_2+R_3 = [0 1 y]+[0 -1 -x+z] = [0 0 -x+y+z] La matrice risultante è (A|x)'' = [1 3 x ; 0 1 y ; 0 0 -x+y+z] e contiene una riduzione a scala di A, data da A'' = [1 3 ; 0 1 ; 0 0 ] Calcoliamo il rango di A, che è uguale al numero di righe non identicamente nulle di A'', per cui rk(A) = 2. Richiediamo che anche il rango di (A|x) sia pari a 2 imponendo che sia nullo l'ultimo elemento dell'ultima riga di (A|x)'':-x+y+z = 0 Ci siamo! Quella così ottenuta è l'equazione cartesiana che descrive il sottospazio V, ossia V = (x,y,z)∈ R^3 | -x+y+z = 0 Abbiamo ora tutto quello che serve per calcolare una base di U ∩ V. Consideriamo il sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni di U e di V x-y+2z = 0 ;-x+y+z = 0 e calcoliamo una base per lo spazio delle soluzioni. La matrice dei coefficienti associata al sistema è [1 -1 2 ;-1 1 1 ] ed ha rango 2, infatti la sottomatrice di ordine due che si ottiene eliminandone la prima colonna ha determinante diverso da zero. Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette ∞^(3-2) = ∞^1 soluzioni, dove 3 è il numero di incognite. Calcoliamole assegnando all'incognita x il ruolo di parametro libero x = a ; x-y+2z = 0 ;-x+y+z = 0 con a ∈ R Sostituiamo x = a nelle ultime due equazioni, ricaviamo il valore di y dalla seconda, e sostituiamolo nella terza x = a ; a-y+2z = 0 ;-a+y+z = 0 → x = a ; y = a+2z ;-a+a+2z+z = 0 Risolviamo l'ultima equazione e sostituiamo il valore di z nella seconda x = a ; y = a+2z = a ; z = 0 Le ∞^1 soluzioni sono (x,y,z) = (a,a,0) = a (1,1,0) con a ∈ R per cui una base dello spazio delle soluzioni, nonché una base di U ∩ V, è mathcalB_(U ∩ V) = (1,1,0) Completamento a base Per concludere l'esercizio completiamo mathcalB_(U ∩ V) a base di R^3, ossia costruiamo una base di R^3 che contiene il vettore (1,1,0). Detta ; mathcalC = e_1, e_2, e_3 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) la base canonica di R^3, consideriamo l'insieme mathcalB_(U ∩ V) U mathcalC = (1,1,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) Per com'è stato costruito è un sistema di generatori di R^3, dunque per ottenere una base di R^3 che contiene (1,1,0) è sufficiente estrarla da esso. Tra i vari metodi di estrazione scegliamo quello degli scarti successivi:-il primo vettore, indubbiamente, lo teniamo;-il secondo, e_1 = (1,0,0), è linearmente indipendente dal primo, quindi teniamo anche lui;-il terzo vettore, e_2 = (0,1,0), è combinazione lineare di quelli tenuti (0,1,0) = (1,1,0)-(1,0,0) dunque va scartato.-Infine, il quarto vettore e_3 = (0,0,1) lo teniamo perché l'insieme (1,1,0), e_1, e_3 è linearmente indipendente. In conclusione, una base di R^3 che contiene mathcalB_(U ∩ V) è mathcalB_(R^3) = (1,1,0), (1,0,0), (0,0,1) e l'esercizio è concluso!