Soluzioni
  • I sistemi di numerazione sono insiemi formati da un numero finito di simboli e da regole che permettono di esprimere i numeri, di contare e di svolgere le operazioni.

    Ad esempio i dieci simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e le regole sulla composizione dei numeri che impariamo fin dai primi anni della scuola primaria, formano il sistema di numerazione decimale, che è il sistema di numerazione oggi più usato e diffuso al Mondo.

    Sistemi di numerazione posizionali e sistemi di numerazione additivi

    Un sistema di numerazione si dice posizionale quando il valore di un simbolo varia al variare della posizione che il simbolo occupa all'interno di un numero.

    Un sistema di numerazione è detto additivo o additivo/sottrattivo quando ogni numero rappresenta la somma o la differenza dei simboli che lo compongono.

    I simboli che formano ciascun sistema di numerazione vengono dette cifre, e il numero delle cifre che compone un sistema di numerazione posizionale si dice base.

    Esempi di sistemi di numerazione

    1) Il sistema di numerazione decimale è un sistema di numerazione posizionale in base 10.

    Il sistema decimale utilizza infatti 10 simboli (cifre), che sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

    Per rendersi conto che si tratta di un sistema di numerazione posizionale è sufficiente considerare due cifre scelte a piacere, ad esempio 2 e 5.

    Con queste due cifre possiamo comporre due numeri: il numero 25 e il numero 52, che sono due numeri ben distinti sebbene siano formati dagli stessi simboli. Come mai?

    Ciò è dovuto al fatto che il sistema di numerazione decimale è posizionale, ossia le cifre assumono un valore diverso a seconda della posizione che hanno all'interno del numero. Nello specifico:

    - nel numero 25 la cifra 5 indica 5 unità, mentre la cifra 2 rappresenta 2 decine, che equivalgono a 20 unità;

    - nel numero 52 la cifra 2 è la cifra delle unità, mentre la cifra 5 è la cifra delle decine, che quindi corrisponde a 50 unità.

    Per saperne di più sul valore delle cifre del sistema di numerazione decimale rimandiamo alla pagina del link.

    2) Il sistema di numerazione binario ha base 2, è un sistema di numerazione posizionale e le cifre che lo compongono sono 0 e 1.

    3) il sistema di numerazione ottale è posizionale, ha base 8, e si avvale di otto cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

    4) il sistema di numerazione esadecimale ha base 16 ed è formato dalle cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; anch'esso rientra tra i sistemi di numerazione posizionali.

    5) Il sistema dei numeri romani è un sistema di numerazione additivo/sottrattivo e non posizionale, infatti ogni cifra assume sempre la stesso valore e ogni numero romano rappresenta la somma o la differenza delle cifre che lo compongono.

    Per fissare le idee consideriamo i numeri romani IV e VI:

    - entrambi sono formati dalle stesse cifre, il simbolo I e il simbolo V;

    - tali cifre, indipendentemente dalla posizione assunta all'interno del numero, hanno sempre lo stesso valore: I = 1 e V = 5.

    - Nel numero IV, poiché la cifra di sinistra è minore della cifra di destra, il valore della prima cifra va sottratta al valore della seconda; di conseguenza IV = 1-5 = 4.

    - Nel numero VI, la cifra di sinistra è maggiore della cifra di destra, pertanto il valore della prima cifra va addizionato al valore della seconda. In tal modo VI = 5+1 = 6.

    Per leggere tutte le regole di composizione sui numeri romani e tutto quello che c'è da sapere su questo sistema di numerazione potete leggere la pagina del link.

    Passaggio dal sistema di numerazione decimale a un altro sistema di numerazione posizionale

    Dopo aver visto quali sono e come si definiscono i principali sistemi di numerazione, vediamo come passare dal sistema di numerazione decimale a qualsiasi altro sistema di numerazione posizionale.

    Indichiamo con n il numero rappresentato in base 10 che vogliamo onvertire, e con b la base del sistema di numerazione d'arrivo.

    Per svolgere la conversione dobbiamo:

    1) Dividere il numero n per la base b, ottenendo così un quoziente e un resto;

    2) Dividere il quoziente dell'ultima operazione per b, ricavando un nuovo quoziente e un nuovo resto;

    3) Continuare a dividere i quozienti ottenuti per b fino a quando non si ottiene un quoziente uguale a zero;

    4) I resti della divisione, scritti in ordine inverso rispetto a come li abbiamo ottenuti, formano le cifre del numero n espresso in base b.

    Esempio di conversione dal sistema di numerazione decimale al sistema binario

    Convertire il numero n = 26 del sistema numerico decimale in un numero binario.

    Svolgimento: il sistema di numerazione binario ha come base b = 2, quindi dobbiamo dividere il numero n = 26 per il numero b = 2 e, successivamente, continuare a dividere i quozienti ottenuti per 2.

    Di volta in volta dobbiamo appuntare i resti delle divisioni, terminando il processo non appena si ottiene un quoziente uguale a zero.

     26:2 = 13, resto 0 ; 13:2 = 6, resto 1 ; 6:2 = 3, resto 0 ; 3:2 = 1, resto 1 ; 1:2 = 0, resto 1

    Scrivendo i resti in ordine inverso rispetto a come li abbiamo ottenuti otteniamo il numero 26 espresso in base 2: 26_(10) = 11010_(2)

    Passaggio da un sistema di numerazione qualsiasi al sistema decimale

    Per passare da un sistema di numerazione di base b al sistema decimale si deve ricorrere alla forma polinomiale. I passi da seguire sono i seguenti:

    1) partendo dalla prima cifra a destra assegniamo la posizione alla cifre che compongono il numero partenza;

    2) moltiplichiamo la prima cifra per b^0, la seconda per b^1, la terza per b^2, e così via fino ad esaurire tutte le cifre;

    3) sommando i valori trovati al punto 2 avremo il numero espresso nel sistema di numerazione decimale.

    Esempio di conversione dal sistema di numerazione ottale a quello decimale

    Proponiamoci di convertire il numero 1245_8 in un numero del sistema decimale.

    Svolgimento: come spiegato poc'anzi, partendo dalla prima cifra a destra assegniamo la posizione alle cifre che compongono il numero

    1 (4^(a)) 2 (3^(a)) 4 (2^(a)) 5 (1^(a))

    Poiché la base del sistema di numerazione di partenza è b = 8, moltiplichiamo la prima cifra per 8^0, la seconda per 8^1, la terza per 8^2 e la quarta per 8^3, sommando poi i risultati ottenuti.

    In un unico passaggio:

    1245_8 = (1×8^3)+(2×8^2)+(4×8^1)+(5×8^0) = 512+128+32+5 = 677_(10).

    Conversione tra sistemi di numerazione online

    Nel caso dobbiate svolgere esercizi sulla conversione tra sistemi di numerazione online e vogliate controllare i risultati ottenuti, vi rimandiamo ad alcuni tools perfetti per lo scopo:

    - convertitore di numeri

    - convertitore binario

    - convertitore numeri romani.

    Risposta di Galois
 
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