Rapporti e proporzioni: spiegazione con formule ed esempi
Cosa sono rapporti e proporzioni? Potreste scrivere la definizione di rapporto e la definizione di proporzione, e mettere in evidenza le analogie e le differenze tra questi due concetti?
In poche parole, che legame c'è tra rapporti e proporzioni?
Come avrete notato ho le idee molto confuse, quindi oltre a chiarire questi dubbi vi chiedo la cortesia di proporre degli esercizi svolti su rapporti e proporzioni, che magari mi aiuteranno a fare ancor più chiarezza.
Rapporti e proporzioni sono concetti distinti ma correlati tra loro: si dice proporzione una relazione tra quattro grandezze a, b, c, d tali che il rapporto tra a e b è uguale al rapporto tra c e d, e si scrive a:b=c:d. Una proporzione è quindi un'uguaglianza tra due rapporti scritti sotto forma di divisione.
Definizione di rapporto
Per capire qual è il legame esistente tra rapporti e proporzioni dobbiamo partire dalla definizione di rapporto: dati due numeri 
e 
con 
, si chiama rapporto tra e il quoziente della divisione tra il numero e il numero .
Il rapporto tra due numeri reali è un numero reale e può essere espresso sotto forma di divisione 
oppure sotto forma di frazione 
.
Ad esempio il rapporto tra i numeri 9 e 4 è 2,25, che corrisponde al risultato della divisione tra 9 e 4. Tale rapporto si può esprimere nella forma
oppure nella forma
Ancora, il rapporto tra 7 e 2 è 3,5 e può essere rappresentato come divisione
oppure come frazione
Definizione di proporzione
Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti scritti sotto forma di divisione.
A titolo di esempio consideriamo i due rapporti 
e 
Il rapporto tra 20 e 4 e il rapporto tra 10 e 2 sono uguali a 5, infatti:
Poiché i due rapporti sono uguali si dice che i numeri 20, 4, 10 e 2, presi in quest'ordine, formano una proporzione e si scrive:
In generale, dati quattro numeri 
, con e 
diversi da zero, se sono tali che il rapporto tra i primi due è uguale al rapporto tra gli ultimi due 
, si può scrivere la proporzione
e si legge: " sta a come 
sta a ".
Esercizi su rapporti e proporzioni
1) I numeri 15, 20, 12 e 16 formano una proporzione?
Svolgimento: per rispondere calcoliamo il rapporto tra 15 e 20 e il rapporto tra 12 e 16.
Poiché i due rapporti sono uguali, i numeri 15, 20, 12 e 16 formano una proporzione. Possiamo scrivere:
2) Trovare il valore dell'incognita 
affinché 
sia una proporzione.
Svolgimento: il rapporto tra i primi due termini della proporzione è uguale a 6, infatti
Poiché una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti, dobbiamo trovare quel numero tale che dividendo 60 per x si ottenga 6 come risultato.
Dal momento che
il numero cercato è 
.
3) Scrivere una proporzione avente 5 come valore di rapporto.
Svolgimento: per risolvere l'esercizio dobbiamo trovare due coppie di numeri tali che il risultato della divisione tra i numeri di ciascuna coppia sia uguale a 5.
Ad esempio 5 e 1, 20 e 4 sono due coppie di numeri che soddisfano la richiesta, quindi
è una proporzione con valore di rapporto pari a 5.
Precisiamo che questa è solo una delle infinite possibilità; ad esempio potremmo considerare
che sono tutte proporzioni che soddisfano la richiesta dell'esercizio.
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Con questo è tutto! Nel salutarvi vi consigliamo la lettura della nostra lezione sulle proporzioni, in cui proponiamo una spiegazione approfondita sulla definizione, sulle proprietà e sul metodo di risoluzione degli esercizi, il tutto condito da numerosi esempi svolti.