Soluzioni
  • Rapporti e proporzioni sono concetti distinti ma correlati tra loro: si dice proporzione una relazione tra quattro grandezze a, b, c, d tali che il rapporto tra a e b è uguale al rapporto tra c e d, e si scrive a:b=c:d. Una proporzione è quindi un'uguaglianza tra due rapporti scritti sotto forma di divisione.

    Definizione di rapporto

    Per capire qual è il legame esistente tra rapporti e proporzioni dobbiamo partire dalla definizione di rapporto: dati due numeri a e b con b ≠ 0, si chiama rapporto tra a e b il quoziente della divisione tra il numero a e il numero b.

    Il rapporto tra due numeri reali è un numero reale e può essere espresso sotto forma di divisione (a:b) oppure sotto forma di frazione ((a)/(b)).

    Ad esempio il rapporto tra i numeri 9 e 4 è 2,25, che corrisponde al risultato della divisione tra 9 e 4. Tale rapporto si può esprimere nella forma

    9:4 = 2,25

    oppure nella forma

    (9)/(4) = 2,25

    Ancora, il rapporto tra 7 e 2 è 3,5 e può essere rappresentato come divisione

    7:2 = 3,5

    oppure come frazione

    (7)/(2) = 3,5

    Definizione di proporzione

    Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti scritti sotto forma di divisione.

    A titolo di esempio consideriamo i due rapporti 20:4 e 10:2

    Il rapporto tra 20 e 4 e il rapporto tra 10 e 2 sono uguali a 5, infatti:

     20:4 = (20)/(4) = 5 ; 10:2 = (10)/(2) = 5

    Poiché i due rapporti sono uguali si dice che i numeri 20, 4, 10 e 2, presi in quest'ordine, formano una proporzione e si scrive:

    20:4 = 10:2

    In generale, dati quattro numeri a, b, c, d, con b e d diversi da zero, se sono tali che il rapporto tra i primi due (a:b) è uguale al rapporto tra gli ultimi due (c:d), si può scrivere la proporzione

    a:b = c:d

    e si legge: "a sta a b come c sta a d".

    Esercizi su rapporti e proporzioni

    1) I numeri 15, 20, 12 e 16 formano una proporzione?

    Svolgimento: per rispondere calcoliamo il rapporto tra 15 e 20 e il rapporto tra 12 e 16.

     15:20 = (15)/(20) = (3)/(4) ; 12:16 = (12)/(16) = (3)/(4)

    Poiché i due rapporti sono uguali, i numeri 15, 20, 12 e 16 formano una proporzione. Possiamo scrivere:

    15:20 = 12:16

    2) Trovare il valore dell'incognita x affinché 12:2 = 60:x sia una proporzione.

    Svolgimento: il rapporto tra i primi due termini della proporzione è uguale a 6, infatti

    12:2 = (12)/(2) = 6

    Poiché una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti, dobbiamo trovare quel numero x tale che dividendo 60 per x si ottenga 6 come risultato.

    Dal momento che

    60:10 = (60)/(10) = 6

    il numero cercato è x = 10.

    3) Scrivere una proporzione avente 5 come valore di rapporto.

    Svolgimento: per risolvere l'esercizio dobbiamo trovare due coppie di numeri tali che il risultato della divisione tra i numeri di ciascuna coppia sia uguale a 5.

    Ad esempio 5 e 1, 20 e 4 sono due coppie di numeri che soddisfano la richiesta, quindi

    5:1 = 20:4

    è una proporzione con valore di rapporto pari a 5.

    Precisiamo che questa è solo una delle infinite possibilità; ad esempio potremmo considerare

     25:5 = 15:3 ; 10:2 = 30:6 ; 50:10 = 100:20 ; 35:7 = 40:8 ; 45:9 = 55:11

    che sono tutte proporzioni che soddisfano la richiesta dell'esercizio.

    ***

    Con questo è tutto! Nel salutarvi vi consigliamo la lettura della nostra lezione sulle proporzioni, in cui proponiamo una spiegazione approfondita sulla definizione, sulle proprietà e sul metodo di risoluzione degli esercizi, il tutto condito da numerosi esempi svolti.

    Risposta di Galois
 
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