Soluzioni
  • Rapporti e proporzioni sono due concetti distinti ma correlati tra loro; in particolare, si dice proporzione un'uguaglianza tra due rapporti.

    Definizione di rapporto

    Per capire il legame esistente tra rapporti e proporzioni dobbiamo partire dalla definizione di rapporto: dati due numeri a e b, con b \neq 0, si chiama rapporto tra a e b il quoziente ottenuto dividendo il numero a per il numero b.

    Il rapporto tra due numeri reali è un numero reale e può essere espresso sotto forma di divisione (a:b) oppure sotto forma di frazione \left( \frac{a}{b} \right).

    Ad esempio, il rapporto tra i numeri 9 e 4 è 2,25, che corrisponde al risultato della divisione tra il numero 9 e il numero 4. Tale rapporto si può esprimere nella forma

    9:4 = 2,25

    oppure nella forma

    \frac{9}{4} = 2,25

    Ancora, il rapporto tra 7 e 2 è 3,5 e può essere rappresentato come divisione

    7:2=3,5

    oppure come frazione

    \frac{7}{2}=3,5

    Definizione di proporzione

    Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti.

    A titolo di esempio consideriamo i due rapporti 20:4 e 10:2

    Il rapporto tra 20 e 4, così come il rapporto tra 10 e 2, è uguale a 5. Infatti:

    \\ 20:4 = \frac{20}{4}=5 \\ \\ \\ 10:2 = \frac{10}{2}=5

    Poiché i due rapporti sono uguali si dice che i numeri 20, 4, 10 e 2, presi in quest'ordine, formano una proporzione e si scrive:

    20:4=10:2

    La scrittura precedente si dice proporzione e non è altro che un'uguaglianza tra due rapporti.

    In generale, dati quattro numeri a, \ b, \ c, \ d, con b \mbox{ e } d diversi da zero, se sono tali che il rapporto tra i primi due (a:b) sia uguale al rapporto tra gli ultimi due (c:d), si può scrivere la proporzione:

    a:b=c:d

    la quale si legge: "a sta a b come c sta a d".

    Esercizi su rapporti e proporzioni

    1) I numeri 15, 20, 12 e 16 formano una proporzione?

    Svolgimento: per rispondere calcoliamo il rapporto tra 15 e 20 e il rapporto tra 12 e 16.

    \\ 15:20 = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \\ \\ \12:16=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}

    Poiché i due rapporti sono uguali, i numeri 15, 20, 12 e 16 formano una proporzione.

    2) Trovare il valore dell'incognita x affinché 12:2=60:x sia una proporzione.

    Svolgimento: il rapporto tra i primi due termini della proporzione è uguale a 6, infatti

    12:2 = \frac{12}{2} = 6

    Poiché una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti, dobbiamo trovare quel numero x tale per cui dividendo 60 per x si ottenga 6 come risultato.

    Dal momento che 60:10=\frac{60}{10}=6, il numero cercato è x=10

    3) Scrivere una proporzione avente 5 come valore di rapporto.

    Svolgimento: per risolvere l'esercizio dobbiamo trovare due coppie di numeri tali che sia uguale a 5 il risultato della divisione tra i numeri di ciascuna coppia.

    Ad esempio 5 e 1, e 20 e 4 sono due coppie di numeri che soddisfano la richiesta, quindi

    5:1 = 20:4

    è una proporzione con valore di rapporto pari a 5, ma ne esistono infinite:

    \\ 25:5 = 15:3 \\ \\ 10:2 = 30:6 \\ \\ 50:10 = 100:20 \\ \\ 35:7=40:8 \\ \\ 45:9 = 55:11

    son tutte proporzioni che soddisfano la richiesta dell'esercizio.

    ***

    Con questo è tutto! Nel salutarvi consigliamo la lettura della nostra lezione sulle proporzioni in cui proponiamo una spiegazione approfondita sulla definizione, sulle proprietà e sul metodo di risoluzione degli esercizi, il tutto condito da numerosi esempi svolti.

    Risposta di Galois
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