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  • Gli insiemi numerici sono dei particolari insiemi infiniti, ossia raggruppamenti di numeri formati da infiniti elementi e classificati in base a determinate caratteristiche comuni.

    Ogni insieme numerico ha un ruolo molto importante in ciascuna branca della Matematica, e proprio per questo motivo i principali insiemi numerici vengono studiati fin dai primi anni della scuola media.

    Quali sono gli insiemi numerici

    Qui di seguito abbiamo elencato tutti gli insiemi numerici, riportandone la definizione e specificando il simbolo con cui vengono indicati.

    Cliccando sul nome di ciascun insieme potete accedere a un'intera spiegazione interamente dedicata allo specifico insieme numerico, dove sono riportate tutte le proprietà di cui gode ciascun insieme.

    Insieme N: è l'insieme dei numeri naturali e si indica con la lettera \mathbb{N}, ossia raddoppiando la barra trasversale della lettera N.

    Gli elementi dell'insieme \mathbb{N} sono tutti i numeri interi non negativi, i quali si ottengono partendo dal numero 0 e aggiungendo, di volta in volta, un'unità.

    \mathbb{N}=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 10, \ ... \}

    L'insieme numerico \mathbb{N} è formato dai numeri che usiamo ogni giorno per contare; proprio per questo motivo i suoi elementi si dicono numeri cardinali.

    Insieme Z: è l'insieme dei numeri interi relativi e viene indicato con la lettera \mathbb{Z}.

    Gli elementi dell'insieme numerico \mathbb{Z} sono tutti i numeri interi caratterizzati da un segno, che può essere positivo (+), negativo (-) o nullo; in particolare l'unico elemento con segno nullo è lo zero.

    \mathbb{Z} = \{ ..., \ -7, \ -6, \ -5, \ -4, \ -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ ...\}

    Da un punto di vista formale l'insieme numerico \mathbb{Z} è definito come l'unione tra l'insieme \mathbb{N} dei numeri naturali

    \mathbb{N}=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ ...\}

    e l'insieme \mathbb{N}^{-} dei numeri interi negativi, ossia dei numeri naturali preceduti dal segno meno.

    \mathbb{N}^-=\{0, \ -1, \ -2, \ -3, \ -4, \ -5, \ -6, \ -7, \ -8, \ ...\}

    Pertanto:

    \mathbb{Z}=\mathbb{N} \cup \mathbb{N}^{-}

    Insieme Q: è l'insieme dei numeri razionali relativi, cioè di quei numeri che si esprimono attraverso una frazione e che sono preceduti da segno positivo (+), negativo (-), o nullo; l'unico elemento di segno nullo è lo zero.

    L'insieme numerico dei numeri razionali si indica con la lettera \mathbb{Q}, e non va confuso con l'insieme \mathbb{Q}^+ dei numeri razionali assoluti, che è l'insieme dei numeri razionali di segno positivo.

    Gli elementi dell'insieme \mathbb{Q} si presentano nella forma \frac{a}{b}, dove a \mbox{ e } b sono due qualsiasi numeri interi relativi, con b diverso da zero. In formule:

    c \in \mathbb{Q} \iff c=\frac{a}{b}, \ \mbox{ con } a, b \in \mathbb{Z}, \ b \neq 0

    Ad esempio:

    -\frac{3}{2}, \ \frac{2}{17}, \ \frac{8}{9}, \ 7, \ -\frac{12}{23}

    sono elementi dell'insieme numerico \mathbb{Q}.

    Insieme I: è l'insieme dei numeri irrazionali, ossia di quei numeri che non possono essere espressi attraverso una frazione.

    L'insieme numerico dei numeri irrazionali si indica con la lettera \mathbb{I} e i suoi elementi sono tutti i numeri decimali illimitati non periodici, cioè quei numeri per cui non esiste una frazione generatrice.

    \pi, \ \sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ -\sqrt[3]{5}, \ -\sqrt[5]{7}

    sono tutti esempi di numeri irrazionali.

    Insieme R: è l'insieme dei numeri reali e si indica con la lettera \mathbb{R}.

    L'insieme numerico dei numeri reali è definito come l'unione tra l'insieme \mathbb{Q} dei numeri razionali e l'insieme \mathbb{I} dei numeri irrazionali.

    \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}

    Pertanto gli elementi dell'insieme numerico \mathbb{R} sono quei numeri che possono essere espressi attraverso una rappresentazione decimale, sia limitata che illimitata, sia periodica che non periodica.

    Per farla breve gli elementi dell'insieme \mathbb{R} sono tutti quei numeri positivi e negativi (zero incluso) che ci vengono in mente e con cui abbiamo a che fare nella vita di tutti i giorni.

    -\frac{2}{3}, \ -12,\overline{25}, \ \pi, \ \sqrt[3]{2}, \ -54, \ \frac{8}{\pi}

    sono tutti esempi di numeri reali.

    Insieme C: è l'insieme dei numeri complessi, il quale si indica con la lettera \mathbb{C}.

    L'insieme dei numeri complessi estende l'insieme dei numeri reali e i suoi elementi si presentano nella forma a+\imath b, dove a \mbox{ e } b sono due numeri reali e \imath è l'unità immaginaria.

    Ad esempio:

    5+3\imath, \ 2+2\imath, \ \sqrt{2}+\sqrt{3}\imath, \ 7\imath

    sono elementi dell'insieme \mathbb{C} dei numeri complessi.

    Come sono nati gli insiemi numerici

    Il primo insieme numerico a essere stato introdotto è l'insieme \mathbb{N} dei numeri naturali, che sono i numeri che usiamo ogni giorno per contare.

    Quando si svolgono le operazioni tra numeri naturali, non tutte danno come risultato un numero naturale. Ad esempio la sottrazione tra due numeri naturali in cui il minuendo è minore del sottraendo non è un numero appartenente all'insieme \mathbb{N}, così come la divisione tra due numeri in cui il dividendo non è un multiplo del divisore.

    Di conseguenza sono stati introdotti l'insieme numerico \mathbb{Z} dei numeri interi relativi e l'insieme numerico \mathbb{Q} dei numeri razionali. Nell'insieme \mathbb{Z} è possibile svolgere la sottrazione tra due qualsiasi numeri naturali, mentre nell'insieme \mathbb{Q} ha senso la divisione tra due qualsiasi numeri interi, a patto che il divisore sia diverso da zero.

    Nell'insieme \mathbb{Q} tutto sembrerebbe funzionare alla perfezione: le operazioni tra frazioni (somma, differenza, prodotto, divisione ed elevamento a potenza) sono tutte operazioni interne all'insieme \mathbb{Q}.

    Non abbiamo però tenuto conto dell'operazione di estrazione di radice, la quale a volte restituisce un numero decimale illimitato non periodico, e quindi non esprimibile sotto forma di frazione. Ne è un esempio la radice quadrata di 2, la quale non appartiene all'insieme \mathbb{Q}.

    \sqrt{2}=1,414213562373095...

    Proprio da qui è nata l'esigenza di introdurre un nuovo insieme numerico: l'insieme \mathbb{I} dei numeri irrazionali, che è l'insieme di tutti quei numeri che non sono razionali, ossia che non possono essere espressi attraverso una frazione.

    L'insieme \mathbb{Q} e l'insieme \mathbb{I} sono due insiemi disgiunti, ossia due insiemi che non hanno nessun elemento in comune; dalla loro unione è poi nato l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali.

    Uno dei limiti dell'insieme numerico \mathbb{R} è l'impossibilità di estrarre la radice con indice pari di un numero negativo, e di conseguenza trovare le soluzioni delle equazioni di secondo grado con discriminante negativo.

    A tale proposito è stata introdotta l'unità immaginaria \imath := \sqrt{-1} e quindi l'insieme \mathbb{C} dei numeri complessi. Chiunque voglia approfondire può leggere la nostra lezione di introduzione ai numeri complessi.

    Legame tra gli insiemi numerici e diagramma di Eulero-Venn

    L'insieme \mathbb{N} dei numeri naturali è un sottoinsieme proprio dell'insieme \mathbb{Z} dei numeri interi relativi, che a sua volta è un sottoinsieme proprio dell'insieme \mathbb{Q} dei numeri razionali.

    Indicato con \mathbb{I} l'insieme dei numeri irrazionali, sappiamo che gli insiemi numerici \mathbb{Q} \mbox{ e } \mathbb{I} sono due insiemi disgiunti, la cui unione genera l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali.

    Inoltre, l'insieme \mathbb{R} è un sottoinsieme proprio dell'insieme \mathbb{C} dei numeri complessi.

    Usando il simbolismo matematico possiamo esprimere in formule quanto detto poc'anzi:

    \\ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \\ \\ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} \\ \\ \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R}

    Il legame esistente tra gli insiemi numerici può essere rappresentato graficamente attraverso il diagramma di Eulero-Venn riportato qui di seguito:

     

    Insiemi numerici

    Risposta di Galois
 
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