Soluzioni
  • Le proprietà delle operazioni sono delle semplici regole grazie alle quali è possibile semplificare lo svolgimento delle operazioni nonché verificare che il risultato ottenuto sia corretto.

    Qui di seguito abbiamo elencato tutte le proprietà delle operazioni, dividendole in base all'operazione a cui si riferiscono e indicando per ciascuna di esse:

    - il nome;

    - la proprietà scritta per esteso;

    - la formula che permette di scrivere in modo compatto ogni proprietà;

    Cliccando sui rispettivi link potete accedere alle lezioni di approfondimento relative a ciascuna proprietà.

    Proprietà dell'addizione

    Proprietà commutativa dell'addizione: cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

    a+b=b+a

    Proprietà associativa dell'addizione: la somma di tre o più addendi non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.

    a+b+c = d+c, \mbox{ con } d=a+b

    Proprietà dissociativa dell'addizione: la somma di due o più addendi non cambia se a uno di essi si sostituiscono altri addendi la cui somma è uguale all'addendo sostituito.

    a+b = a+c+d, \mbox{ con } b=c+d

    Esistenza dell'elemento neutro dell'addizione: lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, cioè sommando zero a qualsiasi numero si ottiene il numero stesso

    a+0 = 0+a = a

    Esistenza dell'inverso additivo: dato un numero qualsiasi esiste sempre un altro numero che sommato al primo dà come risultato l'elemento neutro dell'addizione, ossia lo zero. Tale numero si dice inverso additivo ed è l'opposto del numero di partenza.

    \mbox{Per ogni numero } a \mbox{ esiste un numero } -a \mbox{ tale che } a+(-a)=0

    Proprietà della sottrazione

    Proprietà invariantiva della sottrazione: addizionando o sottraendo sia al minuendo che al sottraendo uno stesso numero, il risultato della sottrazione non cambia

    a-b = (a \pm c) - (b \pm c)

    Proprietà della moltiplicazione

    Proprietà commutativa della moltiplicazione: cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia.

    a \times b = b \times a

    Proprietà associativa della moltiplicazione: il prodotto di tre o più fattori non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto.

    a \times b \times c = d \times c, \mbox{ con } d=a \times b

    Proprietà dissociativa della moltiplicazione: il prodotto di due o più fattori non cambia se a uno di essi si sostituiscono altri numeri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito.

    a \times b = a \times c \times d, \mbox{ con } b=c \times d

    Esistenza dell'elemento neutro della moltiplicazione: il numero 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione, cioè moltiplicando 1 a qualsiasi numero si ottiene il numero stesso

    a \times 1 = 1 \times a = a

    Esistenza dell'inverso moltiplicativo: dato un numero qualsiasi esiste sempre un altro numero che moltiplicato al primo dà come risultato 1, cioè l'elemento neutro della moltiplicazione. Tale numero si dice inverso moltiplicativo ed è il reciproco del numero di partenza.

    \mbox{Per ogni numero } a \mbox{ esiste un numero } a^{-1} \mbox{ tale che } a \times (a^{-1})=1

    Proprietà distributiva della moltiplicazione: moltiplicare un numero per una somma (o per una differenza) equivale a moltiplicare quel numero per ogni termine della somma (o della differenza) per poi sommare (o sottrarre) i risultati ottenuti.

    a \times (b \pm c) = (a \times b) \pm (a \times c)

    Proprietà della divisione

    Proprietà invariantiva della divisione: moltiplicando o dividendo sia dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, il risultato della sottrazione non cambia

    a:b = (a \times c) : (b \times c) \ \mbox{ e } \ a:b = (a:c) : (b:c), \mbox{ con } c \neq 0

    Proprietà distributiva della divisione: dividere una somma (o una differenza) per un numero equivale a dividere ciascun termine della somma (o della differenza) per quel numero, per poi sommare (o sottrarre) i risultati ottenuti.

    (a \pm b) : c = (a : c) \pm (b : c)

    Per concludere vi consigliamo una lettura che potrebbe tornarvi molto utile: quella dedicata ai trucchi di calcolo mentale. ;)

    Risposta di Galois
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