Soluzioni
  • Le funzioni fratte sono funzioni che presentano la variabile indipendente (solitamente indicata con la lettera x) a denominatore.

    Una funzione fratta si presenta nella forma

    y=\frac{f(x)}{g(x)}

    con f(x) \mbox{ e } g(x) che possono assumere qualsiasi forma.

    Ad esempio, le funzioni

    f(x)=\frac{1}{x}\ \ ;\ \ g(x)=\frac{\log(x)}{x^2+2x+1}\ \ ;\ \ h(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{x^3+sqrt[3]{x}}}

    sono tutte funzioni fratte in quanto presentano una quantità che dipende dalla x a denominatore.

    Dominio di una funzione fratta

    Per trovare il dominio delle funzioni fratte dobbiamo:

    - imporre che la quantità a denominatore sia diversa da zero;

    - se necessario, imporre la precedente condizione a sistema con altre condizioni che dipendono dalla forma analitica del numeratore e del denominatore della funzione fratta.

    Potete consultare tutte le regole per il calcolo del dominio di una funzione nella pagina del link.

    Esempi sul dominio di una funzione fratta

    1) y=\frac{x-1}{x^2+2x}

    Per calcolare il dominio della funzione fratta proposta dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero.

    x^2+2x \neq 0

    Effettuando un raccoglimento totale otteniamo

    x(x+2)\neq 0 \iff x \neq 0 \mbox{ e } x\neq -2

    Pertanto il dominio è D=\mathbb{R}-\{-2, 0\}.

    2) y=\frac{\sqrt{x}}{x-3}

    La funzione assegnata presenta una radice con indice pari e un denominatore, pertanto per determinarne il dominio dobbiamo imporre che il radicando sia non negativo e che il denominatore sia diverso da zero

    \begin{cases}x \ge 0 \\ x-3 \neq 0\end{cases}

    Le soluzioni del sistema coincidono con il dominio della funzione fratta: D=[0,3)\cup(3,+\infty).

    3) y=\frac{x+5}{\log(x)-1}

    Per trovare il dominio della funzione fratta dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero e che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero

    \begin{cases}\log(x)-1 \neq 0 \\ x>0\end{cases}

    log(x)=1 ha come unica soluzione x=e, quindi possiamo riscrivere il sistema come

    \begin{cases}x \neq e \\ x>0\end{cases}

    La soluzione del sistema è (0,e) \cup (e,+\infty) e coincide col dominio della funzione fratta.

    Studio di una funzione fratta

    Per studiare le funzioni fratte è sufficiente seguire i passaggi elencati nella guida sullo studio di funzione per poi verificare i risultati ottenuti attraverso il tool per il grafico di funzione.

    ***

    Negli esercizi sullo studio di funzione vi troverete spesso a che fare con le funzioni razionali, un particolare tipo di funzioni fratte che abbiamo accuratamente trattato nella pagina del link.

    Risposta di Galois
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