Soluzioni
  • Le funzioni irrazionali sono funzioni in cui la variabile indipendente (solitamente indicata con la lettera x) compare sotto il segno di radicale.

    Alcuni libri di testo definiscono le funzioni irrazionali come funzioni reali di variabile reale che si presentano nella forma

    y=\sqrt[n]{f(x)}, \ \mbox{ con } n\in \mathbb{N}, \ n \ge 2

    ma questo è solo un caso particolare di funzione irrazionale.

    Per dare un'idea concreta, le funzioni

    f(x)=\sqrt{\log(x)}+2\ \ ;\ \ g(x)=\sin{\sqrt[3]{x^2+1}}-x\ \ ;\ \ h(x)=\frac{\sqrt{2x+3}}{x-1}

    sono tutte funzioni irrazionali, infatti sono tutte funzioni in cui la variabile indipendente compare sotto radice.

    Funzioni irrazionali elementari

    Le funzioni irrazionali più semplici che si possono considerare sono quelle in cui è presente un'unica radice avente come radicando la variabile indipendente x. In particolare possiamo distinguere tra:

    - le funzioni radice con indice pari, del tipo

    y=\sqrt[n]{x}\ \ \ \mbox{con }n\in\mathbb{N},\ n\mbox{ pari}

    - le funzioni radice con indice dispari, della forma

    y=\sqrt[n]{x}\ \ \ \mbox{con }n\in\mathbb{N},\ n\mbox{ dispari}

    Dominio di una funzione irrazionale

    Dato che i possibili casi sono pressoché illimitati, non esistono regole generali che permettono di calcolare il dominio di una funzione irrazionale. L'unica cosa da fare è imparare le regole sul calcolo del dominio di una funzione e metterle in pratica anche nel caso delle funzioni irrazionali.

    Esempi sul calcolo del dominio di una funzione irrazionale

    1) y=\sqrt{x-2}

    Poiché la funzione irrazionale assegnata presenta una radice con indice pari, per trovarne il dominio dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore o uguale di zero

    x-2 \ge 0

    Ricadiamo così in una disequazione di primo grado soddisfatta per

    x \ge 2

    Di conseguenza il dominio della funzione irrazionale data è \mbox{D}=[2, +\infty).

    2) y=\sqrt[3]{x+1}-x^2+2

    La funzione irrazionale in esame è definita in tutto l'insieme R dei numeri reali, infatti l'unica radice presente ha indice dispari e il radicando è una funzione polinomiale.

    3) y=\sqrt{x}+\frac{\log(x-1)}{x}

    Per calcolare il dominio della funzione irrazionale proposta dobbiamo imporre:

    - il radicando maggiore o uguale di zero;

    - l'argomento del logaritmo maggiore di zero;

    - il denominatore diverso da zero.

    Di conseguenza dobbiamo risolvere il seguente sistema

    \begin{cases}x \ge 0 \\ x-1>0 \\ x \neq 0\end{cases}

    da cui si ottiene il dominio della funzione irrazionale in esame: D=(1,+\infty)

    Studio di una funzione irrazionale

    Lo studio di una funzione è una procedura che consiste in vari passaggi e che permette di tracciare il grafico qualitativo della funzione partendo dalla sua espressione analitica.

    Come già osservato più volte, le funzioni irrazionali non presentano un'espressione analitica standard, quindi è impossibile definire delle regole generali che permettono di studiare una qualsiasi funzione irrazionale.

    Se il vostro obiettivo è quello di studiare una funzione irrazionale potete consultare la nostra guida sulla studio di funzione e utilizzare il tool sul grafico di funzione per controllare i risultati ottenuti.

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Analisi