Soluzioni
  • L'estrazione di radice è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, infatti estrarre la radice n-esima di un numero (detto radicando) equivale a trovare quel numero la cui potenza n-esima è uguale al radicando.

    Bisogna però prestare attenzione: l'estrazione di radice si definisce in modi diversi a seconda che l'indice n della radice sia un numero pari o un numero dispari.

    Per non lasciare spazio a dubbi distinguiamo i due casi di estrazione di radice con indice pari e di estrazione di radice con indice dispari, proponendo alcuni esempi.

    Estrazione di radice con indice dispari

    L'estrazione di radice con indice dispari consiste nel trovare quel numero che, elevato all'indice di radice, dà come risultato il radicando.

    \mbox{Se } n \mbox{ dispari}: \ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n = a, \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

    Esempi di estrazione di radice con indice dispari

    \sqrt[3]{64}=4 in quanto 4^3=64

    \sqrt[5]{32}=2 poiché 2^5 = 32

    \sqrt[7]{2187}=3 perché 3^7=2187

    Estrazione di radice con indice pari

    L'estrazione di radice con indice pari, nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali, è definita a patto che il radicando sia un numero non negativo, e restituisce quel numero non negativo che elevato all'indice di radice dà come risultato il radicando.

    \mbox{Se } n \mbox{ pari}: \ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n = a, \mbox{ con } a\ge 0, \ b\ge 0

    Esempi sull'estrazione di radice con indice pari

    \sqrt{4}=2 in quanto 2 è quel numero positivo che elevato al quadrato dà come risultato 4.

    \sqrt[4]{81}=3 perché 3 è l'unico numero positivo che elevato alla quarta dà come risultato 81.

    \sqrt[6]{4096}=4, infatti 4 è quel numero positivo che elevato alla sesta dà come risultato 4096.

    Osservazione sulla definizione di estrazione di radice

    A questo punto avrete notato due sostanziali differenze nella definizione di estrazione di radice. In particolare:

    - nell'estrazione di radice con indice pari abbiamo imposto che il radicando sia un numero non negativo, quindi le radici con indice pari devono soddisfare una precisa condizione di esistenza;

    - sempre nell'estrazione di radice con indice pari abbiamo specificato che il risultato deve essere un numero non negativo; questo è un punto abbastanza delicato, che mette in crisi molti studenti...

    Supponiamo di voler calcolare la radice quadrata di 9. Per definizione di potenza di un numero:

    \\ (+3)^2 = (+3) \cdot (+3) = 9 \\ \\ (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9

    Osservando le due uguaglianze appena scritte saremmo tentati di usare il simbolo più o meno, e scrivere

    \sqrt{9}=\pm 3 \ \to \ \mbox{Sbagliato!}

    infatti sia +3 che -3, elevati al quadrato, danno come risultato 9.

    Dov'è l'errore? L'estrazione di radice, come più volte sottolineato, è un'operazione matematica ed è quindi una funzione; in quanto tale essa non può associare due valori distinti (+3 e -3) a uno stesso numero (9).

    Se non fosse sufficiente quanto detto finora, pensate alla definizione di funzione radice con indice pari, che è una funzione la cui immagine è \mathbb{R}^+, ragion per cui l'estrazione di radice con indice pari non può restituire numeri negativi.

    ***

    Ci fermiamo qui. Se volete fare un ripasso su radicali e proprietà dei radicali - click!

    Risposta di Galois
 
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