Soluzioni
  • Ciao Xavier310, arrivo a risponderti :)

    Risposta di Omega
  • Andiamo con ordine.

    “Due basi di uno spazio vettoriale contengono sempre lo stesso numero di elementi”

    1)Perché non possono contenere elementi diversi?

    Non è questione di "contenere elementi diversi", è questione di contenere un numero di elementi diversi.

    Prendi la definizione di base di uno spazio vettoriale V: \left\{v_{n}\right\} è una base dello spazio vettoriale V se

    - è un sistema di generatori per V

    - è un insieme di vettori linearmente indipendenti.

    Sul perchè due basi di uno stesso spazio vettoriale non possono contenere un numero di elementi diversi, si può dimostrare facilmente per assurdo.

    “Avendo un insieme A={v1,…,v7} in uno spazio R4, sappiamo che un insieme di 4 vettori indipendenti in R4 è certamente una base perché dimR=4; ci basterà allora trovare un sottoinsieme di A formato da 4 vettori indipendenti per essere certi che A sia un insieme di generatori e che il sottoinsieme trovato sia una base di R4

    2)Un insieme di 5 vettori indipendenti non può rappresentare una base in R4?

    Non può essere una base. La dimensione di uno spazio vettoriale è il massimo numero di elementi linearmente indipendenti che puoi prendere nello spazio vettoriale stesso.

    3)Se troviamo solo 3 vettori indipendenti perché A non può essere un insieme di generatori?

    Intendi sempre in R4? Tutto dipende dalla dimensione dello spazio.

    4)In Rquante basi ci possono essere?

    Infinite. Esempio:

    (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)

    (2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2)

    (3,0,0,0),(0,3,0,0),(0,0,3,0),(0,0,0,3)

    ...

    5)Possono esserci basi in R4 formate da 5 vettori?

    No, vedi 2)

    6)Quali sono le condizioni per avere una o più basi in R4?

    Sistema di generatori

                                    linearmente indipendenti.

    7)Un sistema di generatori corrisponde sempre a una base e una base corrisponde a un sistema di generatori? Potete farmi qualche esempio in R4 ?

    Una base è sempre un sistema di generatori, per definizione.

    Un sistema di generatori non sempre è una base: ci vuole l'indipendenza lineare.

    Esempio:

    (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) è una base

    (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,1,1,1) è solo un sistema di generatori.

    8)Inoltre, se non chiedo troppo, volevo sapere perché questi 3 vettori sono linearmente dipendenti?

    (1,1,3),(-2,2-1),(0,6,8)

    poni 

    a(1,1,3)+b(-2,2,-1)+c(0,6,8)=(0,0,0)

    con a,b,c numeri reali. Se troviamo una terna specifica (a,b,c) non tutta nulla e tale da annullare la precedente somma, allora i tre vettori sono linearmente dipendenti.

    (a-2b , a+2b+6c , 3a-b+8c)=(0,0,0)

    abbiamo cioè il sistema lineare

    a-2b=0

    a+2b+6c=0

    3a-b+8c=0

    che ha come unica soluzione

    a=0; b=0; c=0;

    Dato che l'unica terna che annulla la precedente combinazione lineare è data dal vettore nullo, i tre vettori sono linearmente indipendenti.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • 3) si intendo sempre in R4 : 3 vettori non possono essere un sistema di generatori

    8) Scusami ma ho sbagliato a scrivere la terna di vettori; quella corretta è:

    (1,1,3),(-1,2,1),(0,6,8). Potresti trovarmi la terna non nulla per la quale l'insieme di vettori sono linearmente dipendenti.

    - Per tutto il resto sei stato chiarissimo. Ti ringrazio. Fate un lavoro e date un servizio eccezionale insieme ai tuoi colleghi dello staff

     

    Risposta di xavier310
  • Per noi di YouMath è un grande piacere essere di aiuto! :)

    In R4, essendo la dimensione 4, ogni base deve avere 4 elementi. Un sistema di generatori (teorema!) non può avere un numero di elementi inferiore alla dimensione dello spazio

    Per quanto riguarda il punto 8), se provi a risolvere il sistema lineare allo stesso modo dovrebbe venirti una soluzione non identicamente nulla. In tal caso, i vettori sarebbero linearmente dipendenti.

     

    Risposta di Omega
 
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