Soluzioni
  • La domanda proposta è davvero generale, e la risposta dovrà essere altrettanto generale: comprendere qual è il legame tra la nozione di funzione periodica e le operazioni tra funzioni non è affatto semplice in termini astratti.

    La somma, il prodotto e il quoziente di funzioni periodiche non sono necessariamente funzioni periodiche.

    Possiamo però soffermarci su alcune considerazioni teoriche e vedere quali sono le condizioni per le quali la somma, il prodotto e il quoziente di funzioni periodiche sono a loro volta funzioni periodiche.

    Prerequisito: definizione di minimo comune multiplo tra periodi

    Per poter introdurre i risultati teorici sulle operazioni tra funzioni periodiche dobbiamo definire la nozione di minimo comune multiplo tra numeri reali, che purtroppo non coincide con il minimo comune multiplo tra interi che conosciamo dalle scuole medie.

    In questo contesto con minimo comune multiplo di due numeri reali a,b ci si riferisce con abuso di notazione al più piccolo numero reale m che differisce da a,b a meno di opportuni coefficienti interi:

    m=\mbox{mcm}(a,b)\ \ \mbox{ se }\ \ \exists c_a,c_b\in\mathbb{Z}\mbox{ t.c. }\begin{cases}m=c_a a\\ m=c_b b\end{cases}

    La definizione è abbastanza complicata da utilizzare, ma con un po' di pazienza riusciremo a comprenderla correttamente.

    Esempi

    Supponiamo di voler calcolare il minimo comune multiplo tra T_1= 2\pi,\ T_2=3\pi.

    In questo caso si ha banalmente

    \mbox{mcm}(2\pi,3\pi)=6\pi

    infatti

    T=3\cdot T_1\ \ \mbox{ e }\ \ T=2\cdot T_2

    e tutti gli altri multipli comuni sono più grandi di T.

    Il gioco si complica ulteriormente quando i numeri reali sono espressi sotto forma di frazione. Ad esempio

    T_1=\frac{\pi}{3}\ \ \mbox{ e }\ \ T_2= \frac{3\pi}{4}

    In questo caso esprimiamo entrambe le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore

    T_{1}=\frac{4\pi}{12}\ \ \mbox{ e }\ \ T_2=\frac{9 \pi}{12}

    Determiniamo il minimo comune multiplo tra i numeratori e dividiamo per il denominatore comune:

    \mbox{mcm}(4\pi,9\pi)=36\pi\ \ \ \to\ \ \ \frac{36}{12} \pi=3\pi

    Così facendo scopriamo che il minimo comune multiplo tra T_1,\ T_2 è

    \mbox{mcm}\left(\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{4}\right)=3\pi

    Teorema sulla somma, prodotto e quoziente di funzioni periodiche

    Consideriamo due funzioni periodiche

    f,\ g:\mbox{D}\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}

    Indichiamo con T_f il periodo di f(x) e con T_g il periodo di g(x).

    1) Se il rapporto tra i periodi T_f,\ T_g è un numero razionale diverso da 1

    \frac{T_f}{T_g}=k\in\mathbb{Q},\ k\neq 1

    allora le funzioni somma, prodotto e quoziente sono funzioni periodiche di periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi:

    \\ T_{f+g}=\mbox{mcm}(T_f, T_g)\\ \\ T_{f\cdot g}=\mbox{mcm}(T_f, T_g)\\ \\ T_{\frac{f}{g}}=\mbox{mcm}\left(T_f,T_g\right)

    2) Se il rapporto tra i periodi T_f,\ T_g è uguale ad 1, ossia se i periodi delle due funzioni sono uguali

    T=T_f=T_g

    allora le funzioni somma, prodotto e quoziente hanno periodo minore o al più uguale al periodo comune T

    \mbox{Se }T_f=T_g=T\mbox{ allora }\begin{cases}T_{f+g}\le T\\ T_{f\cdot g}\le T\\ T_{\frac{f}{g}}\le T\end{cases}

    In tale eventualità dovremo ingegnarci per determinare il periodo della funzione: purtroppo non esiste una regola generale.

    3) Se il rapporto tra i periodi di f(x)\mbox{ e }g(x) è un numero irrazionale

    \frac{T_f}{T_g}\in\mathbb{I}

    allora le funzioni somma, prodotto e quoziente non sono funzioni periodiche.

    Teorema sull'invarianza del periodo per traslazioni

    Oltre al precedente teorema intervengono altri risultati che ci aiutano nello studio delle funzioni periodiche e nel calcolo del periodo: primo tra questi è il teorema sull'invarianza del periodo per traslazioni (cfr: grafico intuitivo di una funzione).

    Quando su un grafico di una funzione periodica agisce una traslazione, il periodo della funzione traslata non cambia.

    Cerchiamo di esprimere il concetto in modo formale.

    Consideriamo una funzione periodica f(x) di periodo T_f e con dominio \mbox{dom}(f). La funzione

    g(x)=f(x-a)+b

    è periodica con lo stesso periodo della funzione f(x)

    T_g=T_f

    In sostanza se ad una funzione periodica sommiamo una costante il periodo non varia, così come non varia nel caso in cui sommiamo una costante all'argomento della funzione.

    Teorema sull'invarianza del periodo per dilatazioni o contrazioni verticali

    Se dilatiamo o contraiamo il grafico di una funzione periodica lungo l'asse y otteniamo il grafico di un'altra funzione anch'essa periodica con periodo pari alla funzione di partenza.

    Se f(x) è una funzione periodica di periodo T_f, allora

    g(x)=a\cdot f(x)\ \ \mbox{ con }a\ne 0

    è una funzione periodica con periodo uguale a quello della funzione f(x)

    T_g=T_f

    Teorema sul periodo per dilatazioni o contrazioni orizzontali

    A differenza del caso precedente, se una funzione f(x) è periodica di periodo T_f e se moltiplichiamo il suo argomento per un numero reale a\ne 0, otterremo una funzione periodica

    g(x)=f(a x)

    di periodo

    T_g=\frac{T_f}{|a|}

    dove |\cdot| denota il valore assoluto.

    Teorema sulla periodicità delle composizione di funzioni

    Esistono dei risultati che riguardano anche la composizione di funzioni, ma purtroppo non saremo sempre in grado di avere informazioni sul periodo minimo. Anche in questi casi bisogna ingegnarsi di volta in volta per determinare il periodo della funzione composta.

    Se abbiamo due funzioni, f(x) non necessariamente periodica e g(x) periodica di periodo T_g, tali per cui è possibile effettuarne la composizione, allora la funzione composta

    f\circ g(x)=f(g(x))

    è periodica di periodo non superiore al periodo della funzione interna: T_g.

    In generale non possiamo dire nulla sulla funzione composta g(f(x)).

    Esempi sulle funzioni periodiche e sul calcolo del periodo

    1) Studiamo la periodicità della funzione

    y=\sin(x)+\cos(2 x)

    Essa è una somma delle funzioni periodiche. Poiché seno e coseno sono funzioni periodiche T=2\pi, allora:

    \\ T_{\sin(x)}=2\pi\\ \\ T_{\cos(2x)}=\frac{T_{\cos(x)}}{|2|}=\frac{2\pi}{2}=\pi

    Osserviamo che per il calcolo del periodo di \cos(2x) abbiamo fatto uso del teorema sul periodo nel caso di una compressione orizzontale.

    Poiché il rapporto tra i due periodi è uguale a 2

    \frac{T_{\sin(x)}}{T_{\cos(2x)}}=\frac{2\pi}{\pi}=2

    ed è un numero razionale, allora la funzione

    y=\sin(x)+\cos(2x)

    è periodica con periodo dato dal minimo comune multiplo dei due periodi

    T_{\sin(x)+\cos(2x)}=\mbox{mcm}(2\pi, \pi)=2\pi

    2) Consideriamo la funzione

    y=\sin(\pi x)\cos(2 x)

    I periodi del primo fattore e del secondo fattore sono

    \\ T_{\sin(\pi x)}=\frac{2\pi}{\pi}=2\\ \\ \\ T_{\cos(2x)}=\frac{2\pi}{2}=\pi

    Poiché il rapporto tra i due periodi non è un numero razionale

    \frac{T_{\sin(\pi x)}}{T_{\cos(2x)}}=\frac{2}{\pi}

    allora la funzione

    y=\sin(\pi x)\cos(2x)

    non è una funzione periodica. Possiamo confermare questa conclusione usando il tool sul grafico di funzione online

    3) Prendiamo in esame la funzione

    y=1+2\sin(3x-2)

    Osserviamo che il grafico della funzione è il traslato verticale del grafico di

    y=2\sin(3x-2)

    pertanto le due funzioni hanno lo stesso periodo

    T_{1+2\sin(3x-2)}=T_{2\sin(3x-2)}

    Abbiamo inoltre una traslazione orizzontale, per cui possiamo asserire che

    T_{2\sin(3x-2)}=T_{2\sin(3x)}

    Inoltre la funzione

    y=2\sin(3x)

    ha per grafico quello che si ottiene dilatando verticalmente il grafico di

    y=\sin(3x)

    e dunque le due funzioni hanno lo stesso periodo

    T_{2\sin(3x)}=T_{\sin(3x)}

    Infine, poiché la funzione seno è una funzione periodica di periodo T=2\pi, allora

    T_{\sin(3x)}=\frac{T_{\sin(x)}}{|3|}=\frac{2\pi}{3}

    Possiamo dunque concludere che

    T_{1+2\sin(3x-2)}=T_{2\sin(3x-2)}=T_{2\sin(3x)}=T_{\sin(3x)}=\frac{2\pi}{3}

    ***

    Per ulteriori esempi o esercizi rimandiamo alla scheda di esercizi svolti sulle funzioni periodiche. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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