Centro, semiassi ed eccentricità di un'ellisse

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Ciao, ho un problema sull'ellisse in cui devo calcolare le coordinate del centro e i semiassi e l'eccentricità, e vi chiedo cortesemente di aiutarmi.

 

E' data l'ellisse di equazione x^2+3y^2-2x-6y-8 = 0.

 

1) Calcolare le coordinate del centro e le lunghezze dei semiassi.

2) Determinare l'eccentricità e scrivere l'equazione della retta tangente all'ellisse nel punto (4;2).

Domanda di JohnnyR

 
Soluzione

  • Ciao JohnnyR!

    x^2+3y^2-2x-6y-8=0

    Riordiniamo per comodità i termini

    x^2-2x+3y^2-6y-8 = 0

    Per prima cosa, riportiamo al centro l'ellisse (click per le formule), cioè scriviamola nella forma 

    ((x-x_0)^2)/(a^2)+((y-y_0)^2)/(b^2) = 1

    Per farlo dobbiamo completare i quadrati: lo facciamo sommando e sottraendo la stessa quantità in modo da ricavare, dato un quadrato incompleto del tipo x^2-2x, il termine mancante: in questo caso sommeremo e sottrarremo 1.

    In questo modo otterremo: 

    (x-1)^2-1

    Per l'altro, possiamo raccogliere un fattore 3 tra 3y^2e 6y, ottenendo esattamente il caso precedente.  Quindi: 

    3(y-1)^2-3

    Facendo questi passaggi (e qualche calcolo) ottieni:

    (x-1)^2+3(y-1)^2 = 12

    Dividiamo entrambi i membri per 12

    ((x-1)^2)/(12)+((y-1)^2)/(4) = 1. 

    A questo punto, il centro è C = (1,1), i semiassi a,b sono rispettivamente 2√3 e 2. 

    Il semiasse focale c si trova con la seguente formula: 

    c = √(a^2-b^2) = 2√(2)

    Quindi, l'eccentricità dell'ellisse è

    e = (c)/(a) = (2√(2))/(2√(3)) = sqrt(2)/(3)

    Per trovare la tangente all'ellisse mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse con la generica retta passante per il punto (4,2).

    Usiamo la formula della retta passante per un punto

    y-y_P = m(x-x_P) → y = mx-4m+2

    dunque

    x^2-2x+3y^2-6y-8 = 0 ; y = mx-4m+2

    Sostituisci l'espressione di y della seconda equazione nella prima

    x^2-2x+3(mx-4m+2)^2-6(mx-4m+2)-8 = 0

    che è un'equazione di secondo grado.

    Imponendo la condizione di tangenza, cioè il discriminante Δ=0, otterrai

    36(m^2+2m+1) = 0

    da cui m = -1

    Pertanto, per sostituzione, la retta tangente all'ellisse è la retta

    y = -x+6.

    Alpha

    Risposta di: Redazione di YouMath
    Ultima modifica:

 
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