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  • Ciao JohnnyR!

    x^2+3y^2-2x-6y-8=0

    Riordiniamo per comodità i termini

    x^2-2x+3y^2-6y-8=0

    Per prima cosa, riportiamo al centro l'ellisse (click per le formule), cioè scriviamola nella forma 

    \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1

    Per farlo dobbiamo completare i quadrati: lo facciamo sommando e sottraendo la stessa quantità in modo da ricavare, dato un quadrato incompleto del tipo x^2-2x, il termine mancante: in questo caso sommeremo e sottrarremo 1.

    In questo modo otterremo: 

    (x-1)^2 -1

    Per l'altro, possiamo raccogliere un fattore 3 tra 3y^2e 6y, ottenendo esattamente il caso precedente.  Quindi: 

    3(y-1)^2 -3

    Facendo questi passaggi (e qualche calcolo) ottieni:

    (x-1)^2}+3(y-1)^2=12

    Dividiamo entrambi i membri per 12

    \frac{(x-1)^2}{12}+\frac{(y-1)^2}{4}=1

    A questo punto, il centro è C=(1,1), i semiassi a,b sono rispettivamente 2√3 e 2. 

    Il semiasse focale c si trova con la seguente formula: 

    c=\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2}

    Quindi, l'eccentricità dell'ellisse è

    e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\sqrt\frac{2}{3}}

    Per trovare la tangente all'ellisse mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse con la generica retta passante per il punto (4,2).

    Usiamo la formula della retta passante per un punto

    y-y_P=m(x-x_P)\ \to\ y=mx-4m+2

    dunque

    \begin{cases}x^2-2x+3y^2-6y-8=0\\ y=mx-4m+2\end{cases}

    Sostituisci l'espressione di y della seconda equazione nella prima

    x^2-2x+3(mx-4m+2)^2-6(mx-4m+2)-8=0

    che è un'equazione di secondo grado.

    Imponendo la condizione di tangenza, cioè il discriminante Δ=0, otterrai

    36(m^2+2m+1)=0

    da cui m=-1

    Pertanto, per sostituzione, la retta tangente all'ellisse è la retta

    y=-x+6.

    Alpha

    Risposta di Alpha
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