Soluzioni
  • Esercizi sulla continuità uniforme con la definizione

    I) Dimostrare che f(x)=x^2 è uniformemente continua in (0, 1].

    II) Dimostrare che f(x)=2x-3 è uniformemente continua in \left[0, \frac{1}{2}\right].

    III) Dimostrare che la funzione f(x)=\sqrt[3]{x} è una funzione uniformemente continua nell'intervallo (1,8].

    IV) Dimostrare che la funzione f(x)=\sqrt{x} è uniformemente continua in [0,+\infty).

    Suggerimento: utilizzare la disuguaglianza

    |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le\sqrt{|x-y|}\quad\forall x, y\in [0, +\infty)

    V) Dimostrare che f(x)=\arctan(x)+\sin(x) è uniformemente continua in (-\infty, +\infty)

    Esercizi teorici sulla uniforme continuità

    VI) [Teorema importante] Dimostrare che se una funzione f(x) è uniformemente continua sia nell'intervallo (a,b] sia nell'intervallo [b,c) allora f(x) è uniformemente continua in (a,c).

    VII) Fornire un esempio di funzione f(x) che è uniformemente continua in (a,b] e in (b,c) ma non uniformemente continua in (a,c).

    VIII) [Teorema dell'asintoto obliquo] Dimostrare che se una funzione f(x) continua in [a, +\infty) ammette un asintoto obliquo per x\to +\infty allora è uniformemente continua in [a, +\infty).

    Fornire un esempio di funzione uniformemente continua che non ammette asintoto obliquo.

    IX) [Teorema] Dimostrare che se f(x)\mbox{ e }g(x) sono funzioni uniformemente continue in un intervallo I allora:

    a) la somma f(x)+g(x) è una funzione uniformemente continua in I;

    b) se f(x)\mbox{ e }g(x) sono inoltre funzioni limitate allora il prodotto f(x)\cdot g(x) è una funzione uniformemente continua.

    Esercizi sull'uniforme continuità mediante criteri e teoremi

    I seguenti esercizi richiedono di conoscere i criteri sufficienti per la continuità uniforme e i criteri necessari per la continuità uniforme.

    X) Dire se le seguenti funzioni sono uniformemente continue negli intervalli indicati a fianco.

    a)\ f(x)=\sin(x)\ \ \ \mbox{su }[0, 1]\\ \\ \\ b)\ f(x)=x-\sin(x)\ \ \ \mbox{su}\ [0, +\infty)\\ \\ \\ c)\ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\ \ \ \mbox{su }(0,1]\\ \\ \\ d)\ f(x)=x^2+\sin(x)\ \ \ \mbox{su }[0,+\infty)\\ \\ \\ f(x)=\frac{x\arctan(x)}{x^2+1}\ \ \ \mbox{su }[0,+\infty)\\ \\ \\ f(x)=\frac{x}{x-1}\ \ \ \mbox{su }(0,1)

    XI) Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false.

    a) Una funzione f(x) definita in [a,+\infty) che ammette un asintoto orizzontale è uniformemente continua.

    b) Se una funzione è uniformemente continua in un intervallo (a, b) allora è limitata.

    c) Se una funzione è uniformemente continua in (a,b) allora è una funzione lipschitziana.

    d) Se una funzione è uniformemente continua in [a,b] allora è derivabile in [a,b]

    e) Se una funzione è derivabile in (a, b) allora f(x) è uniformemente continua in (a,b).

    f) Una funzione lipschitziana è necessariamente una funzione uniformemente continua.

    XII) Dire perché le seguenti funzioni NON sono uniformemente continue nell'intervallo indicato

    \\ a)\ f(x)=x^2\ \ \ \mbox{su }[0, +\infty)\\ \\ \\ b)\ f(x)=x+\ln(x)\ \ \ \mbox{su }(0, +\infty)\\ \\ \\ f(x)=e^{x}+\arctan(x)\ \ \ \mbox{su }[0, +\infty)\\ \\ \\ d)\ f(x)=\begin{cases}x+1&\mbox{ se }x\ge 0\\ 5x+2&\mbox{ se }x<0\end{cases}

    XIII) Determinare per quali valori del parametro reale \alpha la funzione

    f(x)=\begin{cases}\displaystyle x+\alpha^2\mbox{ se }x\ge 0 \\ \\ \displaystyle\frac{\sin(\alpha x)}{x}\mbox{ se }x<0\end{cases}

    risulti uniformemente continua nell'intervallo [-1,1].

    XIV) Esercizio avanzato. Sia f:[a,b]\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione continua nell'intervallo [a,b]. Dimostrare che la funzione integrale:

    F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\ \ \mbox{ con }x\in [a,b]

    è uniformemente continua in [a,b].

    Svolgimenti e soluzioni

    I) Verificare la continuità uniforme di x^2 su (0,1]

    II) Esercizio: dimostrare che una funzione è uniformemente continua

    III) Uniforme continuità della radice cubica su un intervallo

    IV) Continuità uniforme della radice quadrata su un intervallo

    V) Funzione con arcotangente e seno uniformemente continua su un intervallo

    VI) Teorema: funzione uniformemente continua sull'unione di due intervalli

    VII) Controesempio sulla continuità uniforme sull'unione di due intervalli

    VIII) Teorema dell'asintoto obliquo

    IX) Teorema: somma e prodotto di funzioni uniformemente continue

    X)

    a) f(x)=\sin(x)

    è uniformemente continua in [0,1] per il teorema di Heine-Cantor, infatti la funzione seno è continua e l'intervallo è chiuso e limitato.

    b) La funzione

    f(x)=x-\sin(x)

    è uniformemente continua in [0, +\infty) perché la sua derivata, f'(x)=1-\cos(x), è limitata nell'intervallo [0, +\infty).

    c) f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)

    non è uniformemente continua in (0,1] perché se lo fosse il teorema sul prolungamento assicurerebbe l'esistenza (e la finitezza) del limite \lim_{x\to 0^{+}}\sin\left(\frac{1}{x}\right) ma così non è.

    d) f(x)=x^2+\sin(x)

    non è uniformemente continua in [0,+\infty) perché se lo fosse allora f(x) sarebbe sublineare, ossia esisterebbero due costanti positive A\mbox{ e }B tali che:

    |f(x)|<Ax+B\ \mbox{ per ogni }x\in [0, +\infty)\ (\mbox{o almeno definitivamente})

    Scritto in altri termini, il seguente rapporto sarebbe limitato:

    \frac{|f(x)|}{Ax+B}<1\iff \frac{|x^2+\sin(x)|}{Ax+B}<1\mbox{ per ogni }x\in [0, +\infty)

    ma questa condizione viene contraddetta dal valore del limite:

    \lim_{x\to +\infty}\frac{|x^2+\sin(x)|}{Ax+B}=+\infty

    Poiché il limite è infinito allora il rapporto \frac{|f(x)|}{Ax+B} non può essere limitato!

    e) f(x)=\frac{x\arctan(x)}{x^2+1}

    è una funzione uniformemente continua in [0, +\infty) per il teorema dell'asintoto.

    Osserviamo infatti che la funzione è continua in [0, +\infty) ed inoltre:

    \lim_{x\to +\infty}\frac{x\arctan(x)}{x^2+1}=\lim_{x\to +\infty}\arctan(x)\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x^2+1}=0

    dunque f(x) ammette un asintoto orizzontale di equazione y=0.

    f) La funzione

    f(x)=\frac{x}{x-1}

    non è uniformemente continua in (0,1) perché presenta un asintoto verticale, osserviamo infatti che quando x\to 1^{-} si ha che f(x)\to -\infty (in termini più aulici, f(x) manda un intervallo limitato in un intervallo illimitato).

    XI)

    a) Una funzione f(x) definita in [a,+\infty) che ammette asintoto orizzontale è uniformemente continua.

    Falso, manca infatti l'ipotesi di continuità per f(x) sull'intervallo [a,+\infty).

    Come controesempio, la funzione

    f(x)=\begin{cases}0&\mbox{ se }0<x\le 1\\ 1&\mbox{ se }x>1\end{cases}

    non è uniformemente continua in (0,+\infty), nonostante abbia un asintoto orizzontale di equazione y=1.

    b) Se una funzione è uniformemente continua in un intervallo (a, b) allora è limitata.

    Vero, una funzione uniformemente continua manda intervalli limitati in intervalli limitati, di conseguenza l'immagine di (a,b) mediante f(x) è un intervallo limitato.

    c) Se una funzione è uniformemente continua in (a,b) allora è una funzione lipschitziana.

    Falso. Esistono funzioni uniformemente continue ma che non sono lipschitziane, ne è un esempio la funzione f(x)=\sqrt{x} sull'intervallo (0,1).

    d) Se una funzione è uniformemente continua in [a,b] allora è derivabile in [a,b].

    Falso, la funzione f(x)=|x| è uniformemente continua in [0,1] perché è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ma non è derivabile in x=0, punto in cui f(x) presenta un punto angoloso.

    e) Se una funzione è derivabile in (a, b) allora f(x) è uniformemente continua in (a,b).

    Falso, ne è un controesempio

    f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)

    nell'intervallo (0,1).

    Osserviamo infatti che f(x) è derivabile perché composizione di funzioni derivabili, ma non è uniformemente continua perché, se lo fosse, ammetterebbe prolungamento continuo in 0, ossia esisterebbe finito il limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)

    ma tale limite non esiste.

    f) Una funzione lipschitziana è necessariamente una funzione uniformemente continua.

    Vero, discende dal teorema sull'uniforme continuità di una funzione lipschitziana.

    XII)

    a) f(x)=x^2\mbox{ in }[0, +\infty)

    La funzione f(x)=x^2 non è uniformemente continua nell'intervallo dato perché non è sublineare, viene meno quindi la condizione necessaria per l'uniforme continuità.

    b) f(x)=x+\ln(x)\mbox{ in }(0, +\infty)

    La funzione f(x)=x+\ln(x) non è uniformemente continua perché il limite \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty, dunque f(x) non ammette prolungamento continuo.

    c) f(x)=e^{x}+\arctan(x)\mbox{ in }[0, +\infty)

    La funzione non è uniformemente continua perché non è sublineare nell'intervallo dato.

    Se f(x) fosse uniformemente continua in [0, +\infty) allora esisterebbero due costanti A\mbox{ e }B tali che

    \\ |f(x)|\le Ax+B\ \ \mbox{ per }x\ge 0\\ \\ \iff |e^{x}+\arctan(x)|\le Ax+B\ \ \mbox{ per }x\ge 0

    La disuguaglianza può essere riscritta come:

    \frac{|e^{x}+\arctan(x)|}{Ax+B}\le 1\ \ \mbox{ per }x\ge 0

    ma raggiungiamo l'assurdo quando per x\to +\infty il primo membro esplode a più infinito, mostrando che il rapporto \frac{|e^{x}+\arctan(x)|}{Ax+B} non può essere limitato.

    d)

    f(x)=\begin{cases}x+1&\mbox{ se }x\ge 0\\ 5x+2&\mbox{ se }x<0\end{cases}

    Ciascun ramo della funzione f(x) è uniformemente continuo nel proprio intervallo, ma globalmente f(x) non è uniformemente continua perché non è continua in x=0.

    Osserviamo infatti che:

    \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=1 \ \ \ \mbox{ mentre } \ \ \ \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=2

    XIII) Funzione uniformemente continua con parametro

    XIV) Funzione integrale uniformemente continua

    Risposta di Omega
 
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