Soluzioni
  • Il dominio della tangente si trova imponendo che il suo argomento sia diverso da \frac{\pi}{2}+k\pi, con k un qualsiasi numero intero.

    \tan(x) \to x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z}

    La funzione tangente è infatti definita come il rapporto tra seno e coseno

    \tan(x):=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

    e, in accordo con le regole per determinare il dominio di una funzione, per trovare il dominio della tangente dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero.

    \cos(x) \neq 0

    Nell'intervallo [0,2\pi) la funzione coseno si annulla per

    x=\frac{\pi}{2} \mbox{ e per } x=\frac{3}{2}\pi

    Inoltre, essendo il coseno una funzione periodica di periodo 2 \pi, tutti gli zeri del coseno sull'asse reale sono dati da

    x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \mbox{ e da } x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z}

    che possiamo scrivere in forma più sintetica come

    x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z}

    Pertanto per trovare il dominio della funzione tangente

    y=\tan(x)

    dobbiamo imporre che il suo argomento sia diverso da tali valori:

    x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z}

    Dominio della tangente con argomento variabile

    Per determinare il dominio della tangente il cui argomento è una generica funzione f(x) bisogna imporre che la funzione argomento sia diversa da \frac{\pi}{2}+k\pi, con k numero intero, e mettere tale condizione a sistema con eventuali condizioni di esistenza del suo argomento f(x).

    \tan[f(x)] \to \begin{cases} f(x) \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z} \\ \\ \mbox{Aggiungere eventuali condizioni di esistenza di } f(x)\end{cases}

    Esempio sul dominio della tangente

    1) y=\tan(2x)

    Per determinare il dominio della funzione data dobbiamo imporre che sia

    2x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi

    da cui, dividendo ambo i membri per 2 si ottiene

    x \neq \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{con } k \in \mathbb{Z}

    2) y=\tan(\sqrt{x})

    Siamo di fronte ad una funzione tangente il cui argomento è f(x)=\sqrt{x}.

    Per individuare il dominio di tale funzione dobbiamo imporre le seguenti condizioni

    \begin{cases}\sqrt{x} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \to \mbox{ Condizioni esistenza tangente} \\ \\ x>0 \to \mbox{ Condizioni esistenza radice}\end{cases}

    Dalla prima condizione, elevando ambo i membri al quadrato si ottiene

    x \neq \left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)^2

    Da cui, sviluppando il quadrato di binomio

    x \neq \frac{\pi^2}{4}+k^2\pi^2+k\pi^2\ \ \ \mbox{con } k \in \mathbb{Z}

    Osserviamo che tali quantità sono positive per ogni valore di k \in \mathbb{Z}, infatti

    k^2\pi^2>k\pi^2\ \ \ \forall k\in\mathbb{Z}

    per questo motivo la seconda condizione (x>0) può essere omessa.

    Possiamo concludere che il dominio della funzione data è

    \mathbb{R}-\left\{ \frac{\pi^2}{4}+k^2\pi^2+k\pi^2 \right\}\ \ \ \mbox{con } k \in \mathbb{Z}

    Abbiamo finito: se volete fare un ripasso delle regole utili a determinare il dominio di una funzione vi rimandiamo alla lezione del link.

    Risposta di Galois
 
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