Soluzioni
  • Il dominio della tangente si calcola imponendo che il suo argomento sia diverso da 90°+k180° oppure, equivalentemente, richiedendo che l'argomento della tangente sia diverso da π/2+kπ; in entrambi i casi k indica un generico numero intero relativo.

    tan(x) → x ≠ 90°+k180° con k ∈ Z ; o, equivalentemente ; tan(x) → x ≠ (π)/(2)+kπ con k ∈ Z

    Evidentemente le due scritture si equivalgono, infatti cambia solo l'unità di misura scelta per esprimere l'ampiezza degli angoli: nel primo caso il grado, nel secondo il radiante.

    Calcolo del dominio della tangente di x

    Consideriamo la funzione tangente

    f(x) = tan(x)

    e ricordiamo che essa è definita come rapporto tra seno e coseno di x

    tan(x) = (sin(x))/(cos(x))

    Per calcolare il dominio della tangente dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero, in accordo con le regole per determinare il dominio di una funzione

    cos(x) ≠ 0

    Nell'intervallo [0,2π) la funzione coseno si annulla nei punti

    x = (π)/(2) ; x = (3)/(2)π

    Essendo il coseno una funzione periodica di periodo 2 π, tutti gli zeri del coseno sull'asse reale sono dati da

    x = (π)/(2)+2kπ ; x = (3)/(2)π+2kπ con k ∈ Z

    che possiamo scrivere in forma più sintetica come

    x = (π)/(2)+kπ, con k ∈ Z

    Di conseguenza

    cos(x) ≠ 0 → x ≠ (π)/(2)+kπ con k ∈ Z

    Ciò conferma che il dominio della tangente di x si ottiene imponendo che x sia diverso da (π)/(2)+kπ, con k ∈ Z.

    Dom(tan(x)) = R-(π)/(2)+kπ con k ∈ Z

    Dominio della tangente con argomento variabile

    Per determinare il dominio della tangente quando l'argomento è una generica funzione f(x), bisogna imporre che la funzione argomento sia diversa da (π)/(2)+kπ, con k numero intero, e mettere questa condizione a sistema con eventuali condizioni di esistenza di f(x).

    tan[f(x)] → f(x) ≠ (π)/(2)+kπ con k ∈ Z ; Eventuali condizioni di esistenza di f(x)

    Esempi sul calcolo del dominio della tangente con argomento variabile

    1) y = tan(2x)

    L'argomento della tangente è una funzione polinomiale

    f(x) = 2x

    e quindi è definita per ogni x ∈ R.

    Di conseguenza per calcolare il dominio di y = tan(2x) basta imporre che l'argomento della tangente sia diverso da (π)/(2)+kπ:

    2x ≠ (π)/(2)+kπ

    Dividiamo ambo i membri per 2 e otteniamo

    x ≠ (π)/(4)+k(π)/(2), con k ∈ Z

    2) y = tan(√(x))

    In questo caso l'argomento della tangente è la funzione radice quadrata di x

    f(x) = √(x)

    che non è definita su tutto R, ma solo per x ≥ 0.

    Il dominio della funzione y = tan(√(x)) è allora dato da

    √(x) ≠ (π)/(2)+kπ → Condizioni esistenza tangente ; x ≥ 0 → Condizioni esistenza radice

    Dalla prima condizione, elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene

    x ≠ ((π)/(2)+kπ)^2

    da cui, sviluppando il quadrato di binomio:

    x ≠ (π^2)/(4)+k^2π^2+kπ^2, con k ∈ Z

    Osserviamo che questa quantità è non negativa per ogni valore di k ∈ Z, infatti

    k^2π^2 ≥ kπ^2 ∀ k∈Z

    per questo motivo la seconda condizione (x ≥ 0) può essere omessa.

    Possiamo allora concludere che il dominio della funzione considerata è

    R- (π^2)/(4)+k^2π^2+kπ^2 , con k ∈ Z

    ***

    Abbiamo finito! Per fare un ripasso di tutte le regole con cui si calcola il dominio di una funzione - click!

    Risposta di Galois
 
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