Dominio tangente

Il dominio della tangente si calcola imponendo che il suo argomento sia diverso da 90°+k180° oppure, equivalentemente, richiedendo che l'argomento della tangente sia diverso da π/2+kπ; in entrambi i casi k indica un generico numero intero relativo.

Evidentemente le due scritture si equivalgono, infatti cambia solo l'unità di misura scelta per esprimere l'ampiezza degli angoli: nel primo caso il grado, nel secondo il radiante.

Calcolo del dominio della tangente di x

Consideriamo la funzione tangente

e ricordiamo che essa è definita come rapporto tra seno e coseno di

Per calcolare il dominio della tangente dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero, in accordo con le regole per determinare il dominio di una funzione

Nell'intervallo la funzione coseno si annulla nei punti

Essendo il coseno una funzione periodica di periodo , tutti gli zeri del coseno sull'asse reale sono dati da

che possiamo scrivere in forma più sintetica come

Di conseguenza

Ciò conferma che il dominio della tangente di si ottiene imponendo che sia diverso da , con .

Dominio della tangente con argomento variabile

Per determinare il dominio della tangente quando l'argomento è una generica funzione , bisogna imporre che la funzione argomento sia diversa da , con numero intero, e mettere questa condizione a sistema con eventuali condizioni di esistenza di .

Esempi sul calcolo del dominio della tangente con argomento variabile

1)

L'argomento della tangente è una funzione polinomiale

e quindi è definita per ogni .

Di conseguenza per calcolare il dominio di basta imporre che l'argomento della tangente sia diverso da :

Dividiamo ambo i membri per 2 e otteniamo

2)

In questo caso l'argomento della tangente è la funzione radice quadrata di x

che non è definita su tutto , ma solo per .

Il dominio della funzione è allora dato da

Dalla prima condizione, elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene

da cui, sviluppando il quadrato di binomio:

Osserviamo che questa quantità è non negativa per ogni valore di , infatti

per questo motivo la seconda condizione può essere omessa.

Possiamo allora concludere che il dominio della funzione considerata è

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