Dominio tangente

Giuseppe Carichino (Galois) -

Qual è il dominio della tangente e come si calcola? Vorrei sapere come si trova il dominio della tangente di x e, più in generale, come si calcola il dominio della tangente di una funzione f(x).

Oltre a scrivere i risultati vi chiedo la cortesia di spiegarmi come si deve ragionare per determinare il dominio della tangente di x e il dominio della tangente di una funzione qualsiasi, e se possibile di proporre qualche esempio.

Soluzione

Il dominio della tangente si calcola imponendo che il suo argomento sia diverso da 90°+k180° oppure, equivalentemente, richiedendo che l'argomento della tangente sia diverso da π/2+kπ; in entrambi i casi k indica un generico numero intero relativo.

tan(x) → x ≠ 90°+k180° con k ∈ Z ; o, equivalentemente ; tan(x) → x ≠ (π)/(2)+kπ con k ∈ Z

Evidentemente le due scritture si equivalgono, infatti cambia solo l'unità di misura scelta per esprimere l'ampiezza degli angoli: nel primo caso il grado, nel secondo il radiante.

Calcolo del dominio della tangente di x

Consideriamo la funzione tangente

f(x) = tan(x)

e ricordiamo che essa è definita come rapporto tra seno e coseno di x

tan(x) = (sin(x))/(cos(x))

Per calcolare il dominio della tangente dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero, in accordo con le regole per determinare il dominio di una funzione

cos(x) ≠ 0

Nell'intervallo [0,2π) la funzione coseno si annulla nei punti

x = (π)/(2) ; x = (3)/(2)π

Essendo il coseno una funzione periodica di periodo 2 π, tutti gli zeri del coseno sull'asse reale sono dati da

x = (π)/(2)+2kπ ; x = (3)/(2)π+2kπ con k ∈ Z

che possiamo scrivere in forma più sintetica come

x = (π)/(2)+kπ, con k ∈ Z

Di conseguenza

cos(x) ≠ 0 → x ≠ (π)/(2)+kπ con k ∈ Z

Ciò conferma che il dominio della tangente di x si ottiene imponendo che x sia diverso da (π)/(2)+kπ, con k ∈ Z.

Dom(tan(x)) = R-(π)/(2)+kπ con k ∈ Z

Dominio della tangente con argomento variabile

Per determinare il dominio della tangente quando l'argomento è una generica funzione f(x), bisogna imporre che la funzione argomento sia diversa da (π)/(2)+kπ, con k numero intero, e mettere questa condizione a sistema con eventuali condizioni di esistenza di f(x).

tan[f(x)] → f(x) ≠ (π)/(2)+kπ con k ∈ Z ; Eventuali condizioni di esistenza di f(x)

Esempi sul calcolo del dominio della tangente con argomento variabile

1) y = tan(2x)

L'argomento della tangente è una funzione polinomiale

f(x) = 2x

e quindi è definita per ogni x ∈ R.

Di conseguenza per calcolare il dominio di y = tan(2x) basta imporre che l'argomento della tangente sia diverso da (π)/(2)+kπ:

2x ≠ (π)/(2)+kπ

Dividiamo ambo i membri per 2 e otteniamo

x ≠ (π)/(4)+k(π)/(2), con k ∈ Z

2) y = tan(√(x))

In questo caso l'argomento della tangente è la funzione radice quadrata di x

f(x) = √(x)

che non è definita su tutto R, ma solo per x ≥ 0.

Il dominio della funzione y = tan(√(x)) è allora dato da

√(x) ≠ (π)/(2)+kπ → Condizioni esistenza tangente ; x ≥ 0 → Condizioni esistenza radice

Dalla prima condizione, elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene

x ≠ ((π)/(2)+kπ)^2

da cui, sviluppando il quadrato di binomio:

x ≠ (π^2)/(4)+k^2π^2+kπ^2, con k ∈ Z

Osserviamo che questa quantità è non negativa per ogni valore di k ∈ Z, infatti

k^2π^2 ≥ kπ^2 ∀ k∈Z

per questo motivo la seconda condizione (x ≥ 0) può essere omessa.

Possiamo allora concludere che il dominio della funzione considerata è

R- (π^2)/(4)+k^2π^2+kπ^2 , con k ∈ Z

***

Abbiamo finito! Per fare un ripasso di tutte le regole con cui si calcola il dominio di una funzione - click!

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