Dominio tangente
Qual è il dominio della tangente e come si calcola? Vorrei sapere come si trova il dominio della tangente di x e, più in generale, come si calcola il dominio della tangente di una funzione f(x).
Oltre a scrivere i risultati vi chiedo la cortesia di spiegarmi come si deve ragionare per determinare il dominio della tangente di x e il dominio della tangente di una funzione qualsiasi, e se possibile di proporre qualche esempio.
Il dominio della tangente si calcola imponendo che il suo argomento sia diverso da 90°+k180° oppure, equivalentemente, richiedendo che l'argomento della tangente sia diverso da π/2+kπ; in entrambi i casi k indica un generico numero intero relativo.
Evidentemente le due scritture si equivalgono, infatti cambia solo l'unità di misura scelta per esprimere l'ampiezza degli angoli: nel primo caso il grado, nel secondo il radiante.
Calcolo del dominio della tangente di x
Consideriamo la funzione tangente
e ricordiamo che essa è definita come rapporto tra seno e coseno di 
Per calcolare il dominio della tangente dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero, in accordo con le regole per determinare il dominio di una funzione
Nell'intervallo 
la funzione coseno si annulla nei punti
Essendo il coseno una funzione periodica di periodo 
, tutti gli zeri del coseno sull'asse reale sono dati da
che possiamo scrivere in forma più sintetica come
Di conseguenza
Ciò conferma che il dominio della tangente di si ottiene imponendo che sia diverso da 
, con 
.
Dominio della tangente con argomento variabile
Per determinare il dominio della tangente quando l'argomento è una generica funzione 
, bisogna imporre che la funzione argomento sia diversa da , con 
numero intero, e mettere questa condizione a sistema con eventuali condizioni di esistenza di .
![tan[f(x)] → f(x) ≠ (π)/(2)+kπ con k ∈ Z ; Eventuali condizioni di esistenza di f(x)](/images/joomlatex/6/3/63a8b6803b41e890bc28ba3c0a4f81b0.gif)
Esempi sul calcolo del dominio della tangente con argomento variabile
1) 
L'argomento della tangente è una funzione polinomiale
e quindi è definita per ogni 
.
Di conseguenza per calcolare il dominio di basta imporre che l'argomento della tangente sia diverso da :
Dividiamo ambo i membri per 2 e otteniamo
2) 
In questo caso l'argomento della tangente è la funzione radice quadrata di x
che non è definita su tutto 
, ma solo per 
.
Il dominio della funzione è allora dato da
Dalla prima condizione, elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene
da cui, sviluppando il quadrato di binomio:
Osserviamo che questa quantità è non negativa per ogni valore di , infatti
per questo motivo la seconda condizione 
può essere omessa.
Possiamo allora concludere che il dominio della funzione considerata è
***
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