Soluzioni
  • I numeri immaginari sono numeri che contengono l'unità immaginaria e in forma normale si presentano come somma algebrica tra un numero reale ed un addendo che contiene l'unità immaginaria \imath.

    In termini espliciti un numero immaginario si presenta nella forma

    a+\imath b\ \ \ \mbox{con } a,b \in \mathbb{R}, \ b \neq 0

    Tale forma si dice forma algebrica di un numero immaginario. I numeri immaginari possono essere espressi anche in forma trigonometrica o in forma esponenziale. Per saperne di più a riguardo rimandiamo alle pagine dei link precedenti.

    Come nascono i numeri immaginari

    L'insieme dei numeri immaginari nasce con lo scopo di poter calcolare la radice quadrata di un numero negativo.

    Sappiamo infatti che l'estrazione di radice con indice pari non è un'operazione interna all'insieme R dei numeri reali, e di conseguenza non è possibile risolvere le equazioni di secondo grado con discriminante negativo.

    Per venir incontro a tale esigenza sono stati introdotti i numeri immaginari, detti anche numeri complessi, la cui definizione parte dalla definizione di unità immaginaria:

    \imath:=\sqrt{-1}

    In tal modo è possibile calcolare la radice quadrata o la radice con indice pari di qualsiasi numero negativo. Ad esempio

    \sqrt{-4}=\sqrt{4 \cdot -1} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 4 \imath

    Per saperne di più rimandiamo alla nostra pagina sull'introduzione ai numeri complessi.

    Esempi di numeri immaginari

    2\imath\ \ ;\ \ \sqrt{2}+\imath\ \ ;\ \ 3+3\imath\ \ ;\ \ \frac{1}{2}-\sqrt{5}\imath\ \ ;\ \ \sqrt[3]{\frac{1}{7}}+12\imath

    sono tutti esempi di numeri immaginari, in cui:

    - l'addendo senza l'unità immaginaria prende il nome di parte reale;

    - il fattore dell'addendo con la \imath si dice parte immaginaria del numero complesso.

    Ad esempio 3+2\imath è un numero immaginario avente 3 come parte reale e 2 come parte immaginaria.

    Coniugato di un numero immaginario

    Il coniugato di un numero immaginario si ottiene cambiando il segno della parte immaginaria del numero dato e si indica tracciando una barra orizzontale al di sopra del numero.

    Ad esempio il coniugato di 2+9\imath è

    \overline{2+9\imath} = 2-9\imath

    Operazioni con i numeri immaginari

    Con i numeri immaginari è possibile svolgere qualsiasi operazione e per far ciò è sufficiente trattarli come monomi e ricordare che, per definizione

    \imath^2=-1

    Esempi di operazioni con i numeri immaginari

    1) Somma tra numeri immaginari

    Calcolare la somma tra i numeri immaginari 2+3\imath e 7+5\imath.

    (2+3\imath)+(7+5\imath) = 2+3\imath+7+5\imath =

    sommando tra loro i monomi simili

    (2+7)+(3\imath+5\imath) = 9+8\imath

    2) Differenza tra numeri immaginari

    Calcolare la differenza tra i numeri immaginari 8+\imath e 1-3\imath.

    (8+\imath)-(1-3\imath) = 8+\imath-1+3\imath = 7+4\imath

    dove nel primo passaggio abbiamo tolto le parentesi cambiando il segno degli addendi del numero complesso preceduto dal segno meno, e nel passaggio successivo abbiamo sommato i monomi simili.

    3) Prodotto tra numeri immaginari

    Calcolare il prodotto tra (1+\imath) e 5+\imath.

    Procedendo come in un normale prodotto tra monomi si ottiene

    (1+\imath)(5+\imath)=5+\imath+5\imath+\imath^2=5+\imath+5\imath-1

    dove nell'ultimo passaggio abbiamo sostituito \imath^2 con -1.

    Sommando i monomi simili si ottiene

    (1+\imath)(5+\imath)=5+\imath+5\imath-1=4+6\imath

    4) Rapporto tra numeri immaginari

    Il rapporto tra numeri immaginari è un numero immaginario che ha:

    - a numeratore il prodotto tra il dividendo e il coniugato del divisore;

    - a denominatore il prodotto tra divisore e il coniugato del divisore.

    Ad esempio, per calcolare il rapporto tra i numeri complessi 1+2\imath ed \imath dobbiamo:

    - trovare il coniugato del divisore, ossia il coniugato di \imath che è -\imath

    - calcolare il prodotto tra il dividendo e il coniugato del divisore:

    (1+2\imath)(-\imath) = -\imath - 2\imath^2 = -\imath -2(-1) = 2-\imath

    - Calcolare il prodotto tra il divisore e il coniugato del divisore

    \imath \cdot (-\imath) = -\imath^2 = 1

    Pertanto

    (1+2\imath):(\imath)=\frac{2-\imath}{1}=2-\imath

    5) Potenza di un numero immaginario

    Per calcolare la potenza di un numero immaginario si possono utilizzare i prodotti notevoli e ricordare che le potenze di \imath sono cicliche di ordine 4, ossia:

    \\ \imath^1=\imath \\ \\ \imath^2=-1 \\ \\ \imath^3=\imath^2 \cdot \imath = -\imath \\ \\ \imath^4 = \imath^2 \cdot \imath^2 = (-1) \cdot (-1) = 1

    e le potenze successive si ripetono nell'ordine \imath, \ -1, \ -\imath, \ 1.

    Quindi una potenza di \imath con esponente n è uguale alla potenza che ha per base \imath e per esponente il resto della divisione tra n e 4.

    Ad esempio, poiché

    15:4=3, \mbox{ resto } 2

    allora

    \imath^{15} = \imath^2 = -1

    Invece, per calcolare

    (3+2\imath)^2

    possiamo ricorrere allo sviluppo di un quadrato di binomio

    (3+2\imath)^2 = 3^2+2(3)(2\imath)+(2\imath)^2 = 9+12\imath+4\imath^2 = 5+12\imath

    Dovendo calcolare le potenze di un numero immaginario con esponente maggiore di 3 si potrebbe ricorrere al triangolo di Tartaglia, ma vi assicuriamo tale metodo comporterebbe una quantità di calcoli non indifferente.

    Nei casi in cui l'esponente della potenza di un numero immaginario sia un numero maggiore di 3 si ricorrere piuttosto alla formula di De Moivre, ma occorre aver dimestichezza con la forma trigonometrica dei numeri complessi.

    6) Radici di un numero immaginario

    Quando vogliamo calcolare la radice di un numero complesso qualsiasi dobbiamo:

    - passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica;

    - calcolare le radici del numero complesso così come spiegato nella lezione del link.

    ***

    Per il momento è tutto! Per leggere tutto quello che c'è da sapere sui numeri complessi vi rimandiamo alle lezioni dell'omonima categoria di lezioni. ;)

    Risposta di Galois
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