Numeri immaginari

I numeri immaginari sono numeri che si presentano nella forma a+ib, dove i è l'unità immaginaria mentre a, b sono numeri reali con b diverso da zero. Più esplicitamente un numero immaginario è definito dalla somma algebrica tra un numero reale e il prodotto tra l'unità immaginaria e un numero reale non nullo.

I numeri immaginari costituiscono un sottoinsieme dei numeri complessi, infatti i numeri complessi sono tutti e soli i numeri esprimibili nella forma

In altri termini l'insieme dei numeri complessi può intendersi come unione tra l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari.

La rappresentazione si dice forma algebrica di ed è uno dei tre possibili modi con cui si può esprimere un qualsiasi numero complesso. Oltre che in forma algebrica un numero complesso si può rappresentare anche:

• in forma trigonometrica

• in forma esponenziale

In entrambi i casi e sono rispettivamente modulo e argomento del numero complesso , e si calcolano a partire dai numeri reali che definiscono la forma algebrica.

Per saperne di più rimandiamo alle pagine degli omonimi link. Qui di seguito ci dedichiamo ai numeri immaginari in forma algebrica.

Come nascono i numeri immaginari

L'insieme dei numeri immaginari nasce con lo scopo di dare un significato alla radice quadrata dei numeri negativi.

Sappiamo infatti che l'estrazione di radice con indice pari non è un'operazione interna all'insieme R; di conseguenza non è possibile risolvere le equazioni di secondo grado con discriminante negativo, nel senso che esse non ammettono soluzioni nell'insieme dei numeri reali.

Per risolvere tale inconveniente sono stati introdotti i numeri immaginari a partire dalla nozione di unità immaginaria, indicata con la lettera i e definita come la radice quadrata di -1.

Grazie all'unità immaginaria è possibile calcolare la radice quadrata o la radice con indice pari di qualsiasi numero negativo. Ad esempio:

Per saperne di più: introduzione ai numeri complessi - click!

Esempi di numeri immaginari

sono tutti esempi di numeri immaginari, in cui:

- l'addendo senza l'unità immaginaria prende il nome di parte reale;

- il fattore dell'addendo con la si dice parte immaginaria del numero complesso.

Ad esempio è un numero immaginario avente 3 come parte reale e 2 come parte immaginaria.

Relazione tra numeri reali, numeri immaginari e numeri complessi

In base alle definizioni di parte reale e parte immaginaria possiamo affermare che:

- un numero reale è un numero complesso con parte immaginaria nulla;

- un numero immaginario è un numero complesso con parte immaginaria non nulla;

- l'insieme dei numeri complessi è dato dall'unione tra l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari.

Coniugato di un numero immaginario

Il coniugato di un numero immaginario si ottiene cambiando il segno della parte immaginaria del numero considerato, e si indica tracciando una barra orizzontale al di sopra del numero.

Ad esempio il coniugato di è

Operazioni con i numeri immaginari

I numeri immaginari consentono di svolgere qualsiasi operazione. A tal proposito è sufficiente trattarli come monomi e ricordare che, per definizione

Esempi di operazioni con i numeri immaginari

• Somma tra numeri immaginari

Calcolare la somma tra i numeri immaginari e .

Eliminiamo le coppie di parentesi tonde

e sommiamo i monomi simili

• Differenza tra numeri immaginari

Calcolare la differenza tra i numeri immaginari e .

Eliminiamo la coppia di parentesi tonde rispettando la regola dei segni

e sommiamo i monomi simili

• Prodotto tra numeri immaginari

Calcolare il prodotto tra e .

Procediamo come in un normale prodotto tra polinomi

Sostituiamo

e sommiamo i monomi simili

• Rapporto tra numeri immaginari

Il rapporto tra numeri immaginari è un numero complesso che ha:

- a numeratore il prodotto tra il dividendo e il coniugato del divisore;

- a denominatore il prodotto tra il divisore e il coniugato del divisore.

Facciamo un esempio e calcoliamo il rapporto tra e .

Il coniugato di è

svolgiamo le moltiplicazioni

sostituiamo

• Potenza di un numero immaginario

Per calcolare la potenza di un numero immaginario si possono utilizzare i prodotti notevoli e ricordare che le potenze di sono cicliche di ordine 4, ossia:

e le potenze successive si ripetono nell'ordine .

Di conseguenza una potenza di con esponente è uguale a una potenza che ha per base e per esponente il resto della divisione tra e 4.

Ad esempio, poiché

allora

Invece, per calcolare

basta sviluppare il quadrato di binomio e svolgere i calcoli che ne conseguono

Per le potenze con esponente maggiore di 3 si può ricorrere al triangolo di Tartaglia, ma tale metodo comporta una quantità di calcoli non indifferente. In questi casi è più conveniente applicare la formula di De Moivre, che però richiede dimestichezza con la forma trigonometrica dei numeri complessi.

• Radici di un numero immaginario

Quando vogliamo calcolare la radice di un numero immaginario qualsiasi dobbiamo:

- passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica;

- calcolare le radici del numero immaginario, così come spiegato nella lezione dell'omonimo link.

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Ci fermiamo qui. Per tutti gli approfondimenti del caso rimandiamo alle nostre lezioni sui numeri complessi - click!