Soluzioni
  • I numeri immaginari sono numeri che si presentano nella forma a+ib, dove i è l'unità immaginaria mentre a, b sono numeri reali con b diverso da zero. Più esplicitamente un numero immaginario è definito dalla somma algebrica tra un numero reale e il prodotto tra l'unità immaginaria e un numero reale non nullo.

    Numero immaginario : z = a+ imath b con a,b ∈ R, b ≠ 0

    I numeri immaginari costituiscono un sottoinsieme dei numeri complessi, infatti i numeri complessi sono tutti e soli i numeri esprimibili nella forma

    Numero complesso : z = a+ imath b con a,b ∈ R

    In altri termini l'insieme dei numeri complessi può intendersi come unione tra l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari.

    La rappresentazione z = a+ imath b si dice forma algebrica di z ed è uno dei tre possibili modi con cui si può esprimere un qualsiasi numero complesso. Oltre che in forma algebrica un numero complesso si può rappresentare anche:

    • in forma trigonometrica

    z = r[cos(θ)+ imath sin(θ)]

    • in forma esponenziale

    z = r e^(iθ)

    In entrambi i casi r e θ sono rispettivamente modulo e argomento del numero complesso z, e si calcolano a partire dai numeri reali a,b che definiscono la forma algebrica.

    Per saperne di più rimandiamo alle pagine degli omonimi link. Qui di seguito ci dedichiamo ai numeri immaginari in forma algebrica.

    Come nascono i numeri immaginari

    L'insieme dei numeri immaginari nasce con lo scopo di dare un significato alla radice quadrata dei numeri negativi.

    Sappiamo infatti che l'estrazione di radice con indice pari non è un'operazione interna all'insieme R; di conseguenza non è possibile risolvere le equazioni di secondo grado con discriminante negativo, nel senso che esse non ammettono soluzioni nell'insieme R dei numeri reali.

    Per risolvere tale inconveniente sono stati introdotti i numeri immaginari a partire dalla nozione di unità immaginaria, indicata con la lettera i e definita come la radice quadrata di -1.

    imath: = √(-1)

    Grazie all'unità immaginaria è possibile calcolare la radice quadrata o la radice con indice pari di qualsiasi numero negativo. Ad esempio:

    √(-4) = √(4·(-1)) = √(4)·√(-1) = 2· imath = 2 imath

    Per saperne di più: introduzione ai numeri complessi - click!

    Esempi di numeri immaginari

     2 imath ; -18 imath ; √(2)+ imath ; 3+3 imath ; (1)/(2)-√(5) imath ; [3]√((1)/(7))+12 imath

    sono tutti esempi di numeri immaginari, in cui:

    - l'addendo senza l'unità immaginaria prende il nome di parte reale;

    - il fattore dell'addendo con la imath si dice parte immaginaria del numero complesso.

    Ad esempio 3+2 imath è un numero immaginario avente 3 come parte reale e 2 come parte immaginaria.

    Relazione tra numeri reali, numeri immaginari e numeri complessi

    In base alle definizioni di parte reale e parte immaginaria possiamo affermare che:

    - un numero reale è un numero complesso con parte immaginaria nulla;

    - un numero immaginario è un numero complesso con parte immaginaria non nulla;

    - l'insieme dei numeri complessi è dato dall'unione tra l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari.

    Coniugato di un numero immaginario

    Il coniugato di un numero immaginario si ottiene cambiando il segno della parte immaginaria del numero considerato, e si indica tracciando una barra orizzontale al di sopra del numero.

    Ad esempio il coniugato di 2+9 imath è

    2+9 imath = 2-9 imath

    Operazioni con i numeri immaginari

    I numeri immaginari consentono di svolgere qualsiasi operazione. A tal proposito è sufficiente trattarli come monomi e ricordare che, per definizione

    imath^2 = -1

    Esempi di operazioni con i numeri immaginari

    Somma tra numeri immaginari

    Calcolare la somma tra i numeri immaginari 2+3 imath e 7+5 imath.

    (2+3 imath)+(7+5 imath) =

    Eliminiamo le coppie di parentesi tonde

    = 2+3 imath+7+5 imath =

    e sommiamo i monomi simili

    = 9+8 imath

    Differenza tra numeri immaginari

    Calcolare la differenza tra i numeri immaginari 8+ imath e 1-3 imath.

    (8+ imath)-(1-3 imath) =

    Eliminiamo la coppia di parentesi tonde rispettando la regola dei segni

    = 8+ imath-1+3 imath =

    e sommiamo i monomi simili

    = 7+4 imath

    Prodotto tra numeri immaginari

    Calcolare il prodotto tra 1+ imath e 5+ imath.

    Procediamo come in un normale prodotto tra polinomi

    (1+ imath)(5+ imath) = 5+ imath+5 imath+ imath^2 =

    Sostituiamo imath^2 = -1

    = 5+ imath+5 imath-1 =

    e sommiamo i monomi simili

    = 4+6 imath

    Rapporto tra numeri immaginari

    Il rapporto tra numeri immaginari è un numero complesso che ha:

    - a numeratore il prodotto tra il dividendo e il coniugato del divisore;

    - a denominatore il prodotto tra il divisore e il coniugato del divisore.

    Facciamo un esempio e calcoliamo il rapporto tra 1+2 imath e imath.

    (1+2 imath)/(imath) = ((1+2 imath)· imath)/(imath· imath) =

    Il coniugato di imath è - imath

    = ((1+2 imath)·(- imath))/(imath·(- imath)) =

    svolgiamo le moltiplicazioni

    = (- imath-2 imath^2)/(- imath^2) =

    sostituiamo imath^2 = -1

    = (- imath-2·(-1))/(-(-1)) = (- imath+2)/(1) = 2- imath

    • Potenza di un numero immaginario

    Per calcolare la potenza di un numero immaginario si possono utilizzare i prodotti notevoli e ricordare che le potenze di imath sono cicliche di ordine 4, ossia:

    imath^0 = 1 ; imath^1 = imath ; imath^2 = -1 ; imath^3 = imath^2· imath = - imath ; imath^4 = imath^2· imath^2 = (-1)·(-1) = 1

    e le potenze successive si ripetono nell'ordine imath, -1, - imath, 1.

    Di conseguenza una potenza di imath con esponente n è uguale a una potenza che ha per base imath e per esponente il resto della divisione tra n e 4.

    Ad esempio, poiché

    15:4 = 3, resto 3

    allora

    imath^(15) = imath^3 = - imath

    Invece, per calcolare

    (3+2 imath)^2

    basta sviluppare il quadrato di binomio e svolgere i calcoli che ne conseguono

     (3+2 imath)^2 = 3^2+2·3·2 imath+(2 imath)^2 = 9+12 imath+4 imath^2 = 9+12 imath+4·(-1) = 5+12 imath

    Per le potenze con esponente maggiore di 3 si può ricorrere al triangolo di Tartaglia, ma tale metodo comporta una quantità di calcoli non indifferente. In questi casi è più conveniente applicare la formula di De Moivre, che però richiede dimestichezza con la forma trigonometrica dei numeri complessi.

    • Radici di un numero immaginario

    Quando vogliamo calcolare la radice di un numero immaginario qualsiasi dobbiamo:

    - passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica;

    - calcolare le radici del numero immaginario, così come spiegato nella lezione dell'omonimo link.

    ***

    Ci fermiamo qui. Per tutti gli approfondimenti del caso rimandiamo alle nostre lezioni sui numeri complessi - click!

    Risposta di Galois
 
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