Soluzioni
  • Il dominio dell'esponenziale si trova imponendo che la sua base sia una quantità maggiore di zero ed aggiungendo eventuali condizioni di esistenza dell'esponente.

    \left[f(x)\right]^{g(x)} \to \begin{cases}f(x)>0 \\ \\ \mbox{Condizioni di esistenza di } f(x) \\ \\ \mbox{Condizioni di esistenza di } g(x) \end{cases}

    Pertanto non è vero che il dominio della funzione esponenziale è tutto \mathbb{R}. Tale affermazione è vera solo nei casi in cui:

    - la base è un numero maggiore di zero

    e

    - l'esponente è una quantità definita in tutto l'insieme R dei numeri reali.

    Qui di seguito abbiamo riportato alcuni esempi sul dominio dell'esponenziale, mettendo in evidenza alcuni dei casi più frequenti negli esercizi.

    Dominio esponenziale in base e

    Il dominio della funzione esponenziale in base e è dato dal dominio del suo esponente, quindi per trovare il dominio della funzione esponenziale avente come base il numero di Nepero basta imporre le eventuali condizioni d'esistenza del suo esponente.

    Esempi

    f(x)=e^x, \ \ g(x)=e^{x^2}, \ \ h(x)=e^{x^2+2x+1}

    sono funzioni esponenziali aventi come dominio tutto \mathbb{R} in quanto gli esponenti sono funzioni polinomiali e quindi definite su tutto l'asse reale.

    f(x)=e^{\sqrt{x}}

    ha come dominio [0,+\infty). Infatti ad esponente troviamo la quantità \sqrt{x} e quindi dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore o uguale di zero.

    Dominio esponenziale fratta

    Se la funzione esponenziale presenta ad esponente una funzione razionale fratta, per trovare il dominio dobbiamo:

    - imporre che la base sia maggiore di zero

    e

    - imporre le eventuali condizioni di esistenza della base

    e

    - imporre che il denominatore sia diverso da zero.

    Esempio

    Per troviare il dominio di

    f(x)=(2x)^{\frac{1}{x-1}}

    dobbiamo risolvere il seguente sistema di disequazioni

    \begin{cases}2x>0 \to \mbox{ Base dell'esponenziale maggiore di zero} \\ \\ x-1\neq 0 \to \mbox{ Denominatore dell'esponente diverso da zero}\end{cases}

    da cui si ottiene

    \begin{cases}x>0 \\ \\ x \neq 1 \end{cases}

    le cui soluzioni sono

    (0,1) \cup (1,+\infty)

    e coincidono col dominio della funzione in esame.

    Dominio esponenziale sotto radice

    Quando l'esponenziale è il radicando di una radice con indice pari, per trovare il dominio dobbiamo:

    - imporre che tutto il radicando sia maggiore o uguale di zero;

    - imporre che la base dell'esponenziale sia maggiore di zero;

    - imporre le eventuali condizioni di esistenza della base dell'esponenziale;

    - aggiungere eventuali condizioni di esistenza dell'esponente.

    Esempio

    Trovare il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{2^{\frac{1}{x^2-4}}}

    Dal momento che la base dell'esponenziale è un numero maggiore di zero, per calcolare il dominio della funzione data è sufficiente imporre le seguenti condizioni

    \begin{cases}2^{\frac{1}{x^2-4}} \ge 0 \to \mbox{ Radicando maggiore o uguale di zero} \\ \\ x^2-4 \to \mbox{ Denominatore diverso da zero}\neq 0\end{cases}

    Poiché la funzione esponenziale è sempre positiva, indipendentemente dal valore dell'esponente, la disequazione esponenziale

    2^{\frac{1}{x^2-4}} \ge 0

    è soddisfatta per ogni x \in \mathbb{R} ad eccezione dei valori che annullano il denominatore dell'esponente, che troveremo risolvendo la seconda relazione del sistema

    x^2-4 \neq 0

    Procedendo col metodo risolutivo per le equazioni di secondo grado troviamo che

    x^2-4 \neq 0 \iff x\neq -2 \mbox{ e } x\neq 2

    Pertanto il dominio della funzione è

    \mathbb{R}-\{-2,2\}

    ***

    Prima di salutarvi vi lasciamo un paio di link utili:

    - per un ripasso di tutte le regole utili a trovare il dominio di una funzione - click!

    - Per una scheda di esercizi risolti sul dominio - click!

    Risposta di Galois
 
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