Soluzioni
  • Il dominio di un logaritmo si calcola imponendo che il suo argomento sia maggiore di zero e che la sua base sia una quantità numero maggiore di zero e diverso da 1.

    \log_{f(x)}[g(x)] \to \begin{cases}f(x)>0 \\ \\ f(x) \neq 1 \\ \\ g(x) > 0\end{cases}

    Quindi, quando ci troviamo di fronte ad un logaritmo, per trovarne il dominio dobbiamo imporre che l'argomento sia una quantità maggiore di zero ed assicurarci che la sua base sia una quantità maggiore di zero e diversa da 1.

    Qui di seguito abbiamo riportato alcuni esempi sul dominio di un logaritmo, mettendo in evidenza alcuni dei casi più frequenti negli esercizi.

    Dominio del logaritmo naturale

    Per calcolare il dominio di un logaritmo naturale è sufficiente imporre che l'argomento sia maggiore di zero. Infatti la base del logaritmo naturale è il numero di Nepero, quindi un numero maggiore di zero e diverso da 1.

    Esempio

    Per trovare il dominio di

    f(x)=\log(x+1)

    è sufficiente imporre

    x+1 > 0

    Ricadendo così in una disequazione di primo grado soddisfatta per

    x>-1

    Possiamo allora concludere che il dominio della funzione data è (-1,+\infty).

    Dominio di un logaritmo fratto

    Se l'argomento del logaritmo è una funzione fratta, le regole per trovare il dominio rimangono le stesse viste in precedenza:

    - imporre che l'argomento sia maggiore di zero;

    - imporre che la base sia una quantità maggiore di zero e diversa da 1.

    Esempio

    Troviamo il dominio di

    f(x)=\log_2\left(\frac{x-3}{x+5}\right)

    Visto che la base è pari a 2, per trovare il dominio della funzione data è sufficiente imporre che l'argomento sia maggiore di zero, ottenendo così la seguente disequazione fratta

    \frac{x-3}{x+5}>0

    Le cui soluzioni

    (-\infty, -5) \cup (3,+\infty)

    coincidono col dominio della funzione data.

    Dominio di un logaritmo al denominatore

    Quando il logaritmo si trova al denominatore, per trovare il dominio della funzione, oltre ad imporre le condizioni di esistenza sul logaritmo dobbiamo imporre che il logaritmo sia diverso da zero.

    Esempio

    Per calcolare il dominio della funzione

    f(x)=\frac{x^2+1}{\log(x+2)}

    dobbiamo imporre le seguenti condizioni

    \begin{cases}x+2>0 \to \mbox{ Argomento del logaritmo maggiore di zero} \\ \\ \log(x+2) \neq 0 \to \mbox{ Denominatore diverso da zero}\end{cases}

    Dalla prima disequazione si ottiene

    x+2 > 0 \iff x>-2

    La seconda è invece un'equazione logaritmica

    \log(x+2) \neq 0 \iff \log(x+2) \neq \log(1) \iff x+2 \neq 1 \iff x\neq -1

    Pertanto il sistema diventa

    \begin{cases}x>-2 \\ \\ x \neq -1

    le cui soluzioni sono

    (-2,-1) \cup (-1,+\infty)

    e coincidono col dominio della funzione in esame.

    Dominio logaritmo sotto radice

    Quando il logaritmo è sotto radice con indice pari, oltre alle condizioni su base ed argomento, dobbiamo imporre che il radicando, ossia l'intero logaritmo, sia una quantità maggiore o uguale di zero.

    Esempio

    Per trovare il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{\log(x)}

    bisogna risolvere il seguente sistema di disequazioni

    \begin{cases}\log(x)\ge 0 \to \mbox{ Radicando maggiore o uguale di zero} \\ \\ x > 0 \to \mbox{ Argomento del logaritmo maggiore di zero} \end{cases}

    da cui si ottiene

    \begin{cases}x \ge 1  \\ \\ x > 0 \end{cases}

    e quindi le soluzioni:

    [1,+\infty)

    Dominio logaritmo con base variabile

    Anche se capita molto di rado, potrebbe succedere di dover trovare il dominio di un logaritmo con base variabile. In tal caso, come detto più volte, occorre imporre che la base sia maggiore di zero e diversa da 1 e che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero.

    Esempio

    Calcolare il dominio della funzione

    f(x)=\log_{x-7}(x^2-4)

    Visto che il logaritmo ha base variabile, per trovarne il dominio dobbiamo risolvere il seguente sistema

    \begin{cases} x-7 > 0 \to \mbox{ base maggiore di zero} \\ \\ x-7 \neq 1 \to \mbox{ base diversa da 1} \\ \\ x^2-4>0 \to \mbox{ argomento maggiore di zero} \end{cases}

    Risolvendo separatamente le tre condizioni che compongono il sistema si ottiene

    \\ x-7 > 0 \iff x>7 \\ \\ x-7 \neq 1 \iff x \neq 8 \\ \\ x^2-4>0 \iff x<-2 \ \vee \ x>2

    Riportando il tutto in un grafico risolutivo per i sistemi otteniamo le soluzioni del sistema

    (7,8) \cup (8,+\infty)

    che coincidono col dominio della funzione data.

    ***

    Come avrete notato dagli esempi svolti, nel calcolare il dominio del logaritmo dobbiamo tener conto non solo del logaritmo ma anche di dove si trova e quindi considerare le condizioni di esistenza di eventuali denominatori o radici.

    Nel salutarvi vi lasciamo un paio di link utili:

    - per un ripasso sulle regole che permettono di trovare il dominio di una funzione - click!

    - per una scheda di esercizi risolti sul dominio - click!

    Risposta di Galois
 
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