Soluzioni
  • Il dominio di un logaritmo si calcola imponendo che il suo argomento sia maggiore di zero e che la sua base sia maggiore di zero e diversa da 1. Tali condizioni discendono dalla definizione di logaritmo, che richiede che l'argomento sia positivo e che la base sia positiva e diversa da 1.

    \log_{f(x)}[g(x)] \to \begin{cases}f(x)>0 \\ f(x) \neq 1 \\ g(x) > 0\end{cases}

    Per calcolare il dominio di una funzione in cui compare un logaritmo, oltre alle condizioni relative al logaritmo, dobbiamo imporre anche le condizioni di esistenza relative ad altri aspetti rilevanti della funzione. Ad esempio:

    - in presenza di denominatori dobbiamo richiedere che ciascuno di essi sia diverso da zero;

    - se il logaritmo è sotto radice con indice pari, dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore-uguale a zero;

    ... E così via. Tutte le condizioni vanno racchiuse in un unico sistema di disequazioni.

    Qui di seguito abbiamo analizzato i casi più frequenti negli esercizi e proposto un esempio per ciascuno di essi.

    Dominio del logaritmo naturale

    Per calcolare il dominio di un logaritmo naturale è sufficiente imporre che l'argomento sia maggiore di zero. La base del logaritmo naturale è, infatti, il numero di Nepero (e \simeq 2,718), quindi un numero maggiore di zero e diverso da 1.

    Esempio sul calcolo del dominio di un logaritmo naturale

    Per trovare il dominio di

    f(x)=\log(x+1)

    è sufficiente imporre che l'argomento sia maggiore di zero

    x+1 > 0

    Otteniamo così una disequazione di primo grado, soddisfatta per

    x>-1

    Possiamo allora concludere che il dominio della funzione f(x) è (-1,+\infty).

    Dominio di un logaritmo fratto

    Se l'argomento del logaritmo è una funzione fratta, le regole per trovare il dominio rimangono le stesse viste in precedenza:

    - imporre che l'argomento sia maggiore di zero (il che, in particolare, implica che il denominatore della funzione fratta sia diverso da zero);

    - imporre che la base sia una quantità maggiore di zero e diversa da 1.

    Esempio sul calcolo del dominio di un logaritmo fratto

    Troviamo il dominio di

    g(x)=\log_2\left(\frac{x-3}{x+5}\right)

    La base del logaritmo è 2 (numero maggiore di zero e diverso da uno) e l'argomento è una funzione razionale fratta. Di conseguenza per trovare il dominio della funzione g(x) è sufficiente imporre che l'argomento sia maggiore di zero

    \frac{x-3}{x+5}>0

    Le soluzioni della disequazione fratta sono

    (-\infty, -5) \cup (3,+\infty)

    e coincidono con il dominio della funzione considerata.

    Dominio di un logaritmo al denominatore

    Quando il logaritmo si trova al denominatore, per trovare il dominio della funzione dobbiamo imporre le condizioni di esistenza sul logaritmo e richiedere che il logaritmo sia diverso da zero.

    Esempio sul calcolo del dominio di una funzione con logaritmo a denominatore

    Per calcolare il dominio della funzione

    h(x)=\frac{x^2+1}{\log(x+2)}

    mettiamo a sistema le seguenti condizioni

    \begin{cases}x+2>0 \ \to \mbox{ Argomento del logaritmo maggiore di zero} \\ \\ \log(x+2) \neq 0 \ \to \mbox{ Denominatore diverso da zero}\end{cases}

    Dalla prima disequazione si ottiene

    x+2 > 0 \ \to \ x>-2

    La seconda va risolta come un'equazione logaritmica

    \\ \log(x+2) \neq 0 \\ \\ \log(x+2) \neq \log(1) \\ \\ \ x+2 \neq 1 \\ \\ x\neq -1

    Sostituiamo nel sistema

    \begin{cases}x>-2 \\ x \neq -1

    e otteniamo le soluzioni

    (-2,-1) \cup (-1,+\infty)

    che coincidono con il dominio della funzione h(x).

    Dominio logaritmo sotto radice

    Quando il logaritmo è sotto radice con indice pari, oltre alle condizioni su base e argomento del logaritmo dobbiamo imporre che il radicando, ossia l'intero logaritmo, sia una quantità maggiore o uguale di zero.

    Esempio sul calcolo di una funzione con logaritmo sotto radice

    Per trovare il dominio della funzione

    z(x)=\sqrt{\log(x)}

    risolviamo il seguente sistema di disequazioni

    \begin{cases}\log(x)\ge 0 \ \to \mbox{ Radicando maggiore o uguale di zero} \\ \\ x > 0 \ \to \mbox{ Argomento del logaritmo maggiore di zero} \end{cases}

    da cui si ottiene

    \begin{cases}x \ge 1 \\ x > 0 \end{cases}

    e quindi le soluzioni:

    [1,+\infty)

    Dominio logaritmo con base variabile

    Seppur raramente, potrebbe capitare di dover trovare il dominio di un logaritmo con base variabile. In tal caso, come scritto più volte, occorre imporre che la base sia maggiore di zero e diversa da 1, e che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero.

    Esempio sul calcolo del dominio di un logaritmo con base variabile

    Calcolare il dominio della funzione

    f_1(x)=\log_{x-7}(x^2-4)

    Visto che il logaritmo ha base variabile, per trovarne il dominio risolviamo il seguente sistema

    \begin{cases} x-7 > 0 \ \to \mbox{ Base maggiore di zero} \\ \\ x-7 \neq 1 \ \to \mbox{ Base diversa da 1} \\ \\ x^2-4>0 \ \to \mbox{ Argomento maggiore di zero} \end{cases}

    da cui

    \begin{cases} x>7 \\ x \neq 8 \\ x<-2 \ \vee \ x>2

    Le soluzioni del sistema, nonché il dominio della funzione considerata, sono

    (7,8) \cup (8,+\infty)

    ***

    Concludiamo con un paio di link utili:

    - per un ripasso sulle regole che permettono di trovare il dominio di una funzione - click!

    - per una scheda di esercizi risolti sul dominio - click!

    Risposta di Galois
 
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