Numeri primi tra loro: definizione e come riconoscerli

I numeri primi tra loro ( o numeri coprimi) sono numeri interi il cui unico divisore comune è 1. In modo del tutto equivalente due o più numeri naturali si dicono numeri primi tra loro se il loro massimo comun divisore è 1.

Esempi di numeri primi tra loro

1) 12 e 25 sono numeri primi tra loro, infatti:

- i divisori di 12 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 12;

- i divisori di 25 sono: 1, 5, 25.

Poiché 1 è l'unico divisore che hanno in comune i numeri 12 e 25, possiamo affermare che 12 e 25 sono numeri primi tra loro.

2) 6 e 5 sono numeri coprimi in quanto:

- i divisori di 6 sono: 1, 2, 3, 6;

- i divisori di 5 sono: 1 e 5,

quindi il loro unico divisore comune è il numero 1.

3) 12 e 15 non sono numeri primi tra loro, infatti:

- i divisori di 12 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 12;

- i divisori di 15 sono: 1, 3, 5, 15.

Oltre al numero 1, 12 e 15 hanno in comune anche il divisore 3, pertanto non sono numeri coprimi.

Come stabilire se due o più numeri sono primi tra loro

Per stabilire se due o più numeri sono primi tra loro è sufficiente scomporre in fattori primi i numeri dati:

- se i numeri non hanno fattori primi in comune, allora sono primi tra loro;

- se i numeri hanno almeno un fattore primo in comune, allora non sono coprimi.

Pertanto, quando bisogna verificare se due o più numeri sono primi tra loro, non serve calcolare tutti i divisori di ciascun numero ma è sufficiente un controllo dei fattori primi mediante scomposizione.

Prima di vedere un esempio vi facciamo notare che vale un semplice teorema: se due o più numeri interi non hanno fattori primi in comune allora il loro massimo comun divisore è 1.

Di conseguenza possiamo definire numeri coprimi due o più numeri il cui massimo comun divisore è 1.

Esempi

1) 21 e 14 sono primi tra loro?

Per rispondere scomponiamo in fattori primi i numeri 21 e 14.

Poiché il numero 7 compare sia tra i fattori primi di 21 che tra i fattori primi di 14, possiamo affermare che 14 e 21 non sono numeri primi tra loro.

2) 48 e 81 sono primi tra loro?

Scomponendo i due numeri in fattori primi si ottiene

Dal momento che i numeri 48 e 81 hanno sia il fattore 2 che il fattore 3 in comune possiamo concludere che non sono coprimi.

3) 50 e 33 sono coprimi?

Scomponiamo i due numeri in fattori primi

Poiché 50 e 33 non hanno fattori primi in comune, 50 e 33 sono primi tra loro.

Osservazione sui numeri primi tra loro

Se siamo in presenza di due o più numeri primi allora possiamo affermare con certezza che essi sono numeri primi tra loro, infatti i numeri primi sono divisibili solamente per 1 e per se stessi.

Inoltre in alcuni casi possiamo usare i criteri di divisibilità per stabilire se due numeri sono primi tra loro semplicemente osservandoli. Ad esempio:

1) Due o più numeri pari non potranno mai essere numeri primi tra loro, infatti oltre al numero 1 avranno come divisore comune anche il numero 2.

2) Due o più numeri la cui cifra delle è 5, non sono numeri coprimi in quanto avranno come divisore comune un 5.

3) Se siamo in presenza di due numeri la cui somma delle cifre è un multiplo di 3, allora tali numeri sono entrambi numeri divisibili per 3, quindi non potranno essere primi tra loro.

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