Soluzioni
  • Le condizioni di esistenza sono le condizioni che deve soddisfare una radice, una frazione algebrica, un'equazione, una disequazione o più in generale una funzione, affinché non perda di significato nell'insieme R dei numeri reali.

    Per trovare le condizioni di esistenza occorre procedere in modi diversi a seconda dell'espressione che abbiamo dinanzi. Per non lasciare spazio a dubbi vediamo quali sono tutti i possibili casi in cui bisogna trovare le condizioni di esistenza.

    Condizioni di esistenza di una frazione algebrica

    Una frazione algebrica è un'espressione matematica definita mediante il rapporto tra due polinomi, ossia una frazione della forma

    \frac{N(x)}{D(x)}

    con N(x) \mbox{ e } D(x) polinomi nell'incognita x.

    Anche nel caso in cui una frazione algebrica dipenda da più incognite, per trovare le condizioni di esistenza bisogna imporre che il denominatore sia diverso di zero.

    Rapporti qualsiasi

    Ogni volta che è presente un denominatore contenente l'incognita, qualunque esso sia, dovremo richiedere sempre e comunque che sia diverso da zero

    \frac{f(x)}{g(x)}\ \to\ g(x)\neq 0

    Condizioni di esistenza dei radicali

    Un radicale con indice dispari è sempre definito, mentre un radicale con indice pari è definito a patto che il radicando sia una quantità maggiore o uguale di zero.

    \sqrt[n]{f(x)}\ \to\ f(x)\geq 0 \mbox{ se }n\mbox{ pari}

    Pertanto, per trovare le condizioni di esistenza di un radicale, solo se siamo in presenza di una radice con indice pari bisogna imporre che il radicando sia maggiore o uguale di zero.

    Condizioni di esistenza di un logaritmo

    Per trovare le condizioni di esistenza di un logaritmo bisogna imporre:

    - che la base sia una quantità maggiore di zero e diversa da 1;

    - che l'argomento sia una quantità maggiore di zero.

    \log_{f(x)}(g(x))\ \to\ \begin{cases}f(x)>0,\ f(x)\neq 1\\ g(x)>0\end{cases}

    Condizioni di esistenza di un'esponenziale a base variabile

    Se siamo di fronte ad una funzione esponenziale con base variabile, per trovare le condizioni di esistenza bisogna imporre che la base dell'esponenziale sia maggiore di zero.

    y=[f(x)]^{g(x)}\ \to\ f(x)>0

    Condizioni di esistenza di arcoseno ed arcocoseno

    Arcosenoarcocoseno sono funzioni definite a patto che l'argomento sia compreso tra -1 ed 1, estremi inclusi.

    \left{\begin{matrix}y=\arcsin(f(x))\\ \\ y=\arccos(f(x))\end{matrix}\right}\ \to\ -1\leq f(x)\leq 1

    Pertanto per trovare le condizioni di esistenza di arcoseno ed arcocoseno dobbiamo imporre l'argomento compreso (o uguale) tra -1 ed 1, dove la doppia disequazione può essere riscritta sotto forma di sistema di disequazioni

    \begin{cases}f(x)\geq -1\\ f(x)\leq 1\end{cases}

    Condizioni di esistenza di arcosecante e arcocosecante

    Arcosecante e arcocosecante sono funzioni definite solamente se l'argomento è minore di -1 o maggiore di +1, estremi inclusi.

    \left{\begin{matrix}y=\mbox{arcsec}(f(x))\\ \\ y=\mbox{arccsc}(f(x))\end{matrix}\right}\ \to\ f(x)\leq -1\ \vee\ f(x)\geq 1

    ***

    Se non siamo in presenza di nessuna delle espressioni appena citate, non dobbiamo imporre alcuna condizione d'esistenza. Inoltre, avendo ben presente le suddette condizioni sarà possibile trovare le condizioni di esistenza di qualsiasi funzione e le condizioni di esistenza di qualsiasi equazione o disequazione.

    Qualora un'equazione o una funzione dovesse contenere più espressioni che richiedono diverse condizioni di esistenza sarà sufficiente scrivere le varie condizioni in un sistema, per poi risolverlo.

    Attenzione alle condizioni mascherate

    Vi facciamo notare che tangente e cotangente e che secante e cosecante richiedono una particolare condizione di esistenza, già menzionata: quella del rapporto. Esse infatti possono essere espresse come rapporti, in accordo con le rispettive definizioni

    \tan(f(x))=\frac{\sin(f(x))}{\cos(f(x))} \ \longrightarrow \ f(x)\ne \frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \cot(f(x))=\frac{\cos(f(x))}{\sin(f(x))}\ \longrightarrow \ f(x)\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \sec(f(x))=\frac{1}{\cos(f(x))} \ \longrightarrow \ f(x)\ne \frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \csc(f(x))=\frac{1}{\sin(f(x))} \ \longrightarrow \ f(x)\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    Esempi sulle condizioni d'esistenza

    1) Trovare le condizioni di esistenza della funzione

    y=\frac{\log(x+1)}{x}

    Poiché siamo in presenza di una funzione fratta dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero; inoltre, bisogna imporre che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero. Pertanto le condizioni di esistenza della funzione data si ottengono risolvendo il seguente sistema

    \begin{cases}x+1>0 \\ x \neq 0 \end{cases}

    da cui si ricava l'insieme di definizione (-1,0) \cup (0,+\infty).

    2) Trovare le condizioni di esistenza dell'equazione

    \frac{\sqrt{x}}{x-1}=0

    Dobbiamo imporre che il radicando della radice con indice pari sia maggiore o uguale di zero e che il denominatore sia diverso da zero, ossia risolvere il sistema

    \begin{cases}x \ge 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases}

    Otteniamo così l'insieme di definizione dell'equazione che è [0,1) \cup (1,+\infty).

    3) Trovare le condizioni di esistenza di

    y=x^{\sqrt[3]{x+2}}

    L'unica condizione da imporre per ricavare le condizioni di esistenza è x>0. Infatti siamo in presenza di un esponenziale con base variabile, la cui base è x. Per quanto riguarda il radicale, avendo una radice con indice dispari, non dobbiamo imporre alcuna condizione.

    È tutto! Nell'ambito delle funzioni, invece di condizioni di esistenza si preferisce parlare di dominio, per cui vi consigliamo la lettura della nostra lezione sul dominio di una funzione.

    Risposta di Galois
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