Soluzioni
  • Portare fuori radice è un'operazione che consente di semplificare un radicale ed è possibile solo a patto che il fattore da portare fuori dalla radice abbia un esponente maggiore o uguale all'indice della radice.

    Per trasportare un fattore fuori dal segno di radice è sufficiente eseguire una divisione tra l'esponente del fattore e l'indice della radice, quindi si tratta di un'operazione relativamente semplice.

    Tuttavia, soprattutto quando si porta fuori radice una quantità variabile, l'errore è sempre dietro l'angolo e quindi occorre prestare la dovuta attenzione.

    Portare fuori radice un numero

    Per mostrarvi come portare un numero fuori radice senza perderci in inutili giri di parole, spiegheremo i passi da seguire servendoci di un esempio e prendendo come riferimento \sqrt{96}.

    1) Scomporre in fattori primi il radicando

    96=2^5 \cdot 3

    2) Vedere quali tra i fattori primi della scomposizione hanno esponente maggiore o uguale all'indice della radice.

    Poiché

    \sqrt{96} = \sqrt{2^5 \cdot 3}

    l'unico fattore con esponente maggiore o uguale all'indice della radice è 2^5.

    3) Per ogni esponente maggiore o uguale all'indice della radice svolgeremo la divisione tra tale esponente e l'indice.

    Nel caso in esame, poiché l'esponente del fattore 25 è 5 e l'indice della radice è 2, si avrà

    5:2 = 2, \mbox{ resto } 1

    4) Il quoziente della divisione sarà l'esponente del fattore che scriveremo fuori radice; il resto della divisione sarà l'esponente del fattore che rimarrà all'interno della radice. Quindi

    \sqrt{96} = \sqrt{2^5 \cdot 3} = 2^2 \sqrt{2^1 \cdot 3} = 4 \sqrt{6}

    Abbiamo terminato!

    Portare fuori radice una quantità variabile

    Quando la quantità da portare fuori radice è variabile, ossia non è un numero, i passi da seguire per trasportare eventuali fattori fuori dalla radice sono gli stessi visti poc'anzi. Bisogna però prestare attenzione alle condizioni di esistenza, soprattutto nel caso di radici con indice pari.

    Infatti, se l'indice di radice è un numero pari, la quantità sotto radice deve essere maggiore o uguale di zero; quindi per far sì che vengano rispettate le condizioni di esistenza del radicale, quando trasportiamo un fattore fuori dal segno di radice dobbiamo:

    - riportare tra valore assoluto le quantità variabili che portiamo fuori radice;

    - togliere il valore assoluto dalle quantità che sono certamente positive.

    Potrebbe sembrare un ragionamento contorto, ma col seguente esempio risulterà tutto più chiaro. ;)

    Esempio

    Consideriamo il radicale: \sqrt{a^2b^3}

    Poiché siamo in presenza di una radice con indice pari e radicando variabile, dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore o uguale di zero. Pertanto dobbiamo imporre che sia

    a^2b^3 \ge 0

    a^2 è una quantità certamente positiva, infatti anche se a fosse minore di zero una volta elevata ad esponente pari diventerebbe una quantità positiva.

    Il fattore b^3 è maggiore o uguale di zero se e solo se b\ge 0.

    Pertanto il radicale \sqrt{a^2b^3} è definito a patto che b\ge 0.

    Chiarito ciò possiamo procedere col portare fuori radice i fattori aventi esponente maggiore o uguale all'indice, svolgendo la divisione tra ciascun esponente e l'indice della radice e ricordando che

    - il quoziente della divisione sarà l'esponente del fattore che scriveremo fuori radice;

    - il resto della divisione sarà l'esponente del fattore che rimarrà all'interno della radice.

    Consideriamo il fattore a^2, il cui esponente è uguale dell'indice della radice. Svolgendo la divisione si ottiene

    2:2=1, \mbox{ resto } 0

    Pertanto 1 sarà l'esponente di a fuori la radice e 0 sarà l'esponente di a all'interno della radice.

    Invece, per quanto riguarda il fattore b^3, dobbiamo trovare quoziente e resto della divisione tra 3 (esponente di b) e 2 (indice della radice)

    3:2=1, \mbox{ resto } 1

    Quindi 1 sarà l'esponente di b sia dentro che fuori la radice.

    Ricordandoci del valore assoluto abbiamo che

    \sqrt{a^2b^3} = |a^1b^1| \sqrt{a^0b^1} = |ab|\sqrt{b}

    Attenzione ora! Inizialmente, quando abbiamo trovato le condizioni di esistenza del radicale \sqrt{a^2b^3} abbiamo imposto che sia b \ge 0. Pertanto dalla lettera b possiamo togliere il valore assoluto. Di conseguenza possiamo concludere che

    \sqrt{a^2b^3} = |ab|\sqrt{b} = |a|b \sqrt{b}

    ***

    Dopo aver svolto un po' di esercizi sul trasporto fuori radice, noterete che il passaggio della divisione tra esponente ed indice della radice risulterà quasi inutile e sarete in grado di portare fuori radice molto velocemente.

    Errori comuni nel portare fuori radice

    Prima di concludere vogliamo mettervi in guardia su due tra gli errori più frequenti che si fanno quando si porta una quantità fuori radice.

    1) In caso di radice con indice pari e radicando variabile bisogna ricordarsi sempre del valore assoluto.

    2) Fuori dal segno di radice possono essere portati solo fattori con esponenti maggiori o uguali del'indice e non singoli addendi.

    Ad esempio, nel radicale

    \sqrt{a^4+b^3}

    sebbene sia a^4 che b^3 abbiano esponente maggiore dell'indice, non possono essere portati fuori radice. Infatti siamo di fronte ad una somma e non ad un prodotto, quindi a^4 \mbox{ e } b^3 non sono fattori.

    Adesso è davvero tutto! Per un ripasso sui radicali potete consultare la pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
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