Radice per radice

Giuseppe Carichino (Galois) - 20/04/2023

Come si svolgono le moltiplicazioni del tipo radice per radice? Potreste spiegarmi come procedere quando negli esercizi bisogna semplificare una radice moltiplicata per un'altra?

Nello specifico vorrei sapere come si svolge una moltiplicazione radice per radice sia nel caso in cui le radici hanno lo stesso indice, sia quando hanno indici diversi.

Soluzione

Il risultato di una moltiplicazione radice per radice, in cui entrambe hanno lo stesso indice, è una radice che ha come indice lo stesso indice e come radicando il prodotto dei radicandi. Se le radici da moltiplicare hanno indici diversi si devono dapprima ridurre allo stesso indice.

È quindi evidente che il metodo per svolgere le moltiplicazioni di tipo radice per radice cambia a seconda che le radici abbiano lo stesso indice oppure indici diversi. Vediamo cosa comportarci a seconda dei casi.

Radice per radice con indici uguali

Il prodotto di due radici con lo stesso indice è una radice che ha:

• come indice, lo stesso indice;

• come radicando, il prodotto dei radicandi.

Ovviamente la formula vale in tutti i casi in cui sono soddisfatte le condizioni di esistenza dei radicali e , come spiegato nell'approfondimento del link.

Esempi di radice per radice con lo stesso indice

Dobbiamo moltiplicare due radici quadrate. Il loro prodotto è una radice di indice 2 il cui radicando è uguale al prodotto dei radicandi:

Qui i radicandi sono frazioni, ma il procedimento non cambia. Poiché le radici hanno lo stesso indice (3) il risultato della loro moltiplicazione è una radice con lo stesso indice, in cui radicando è dato dal prodotto dei radicandi:

Non ci resta che svolgere la moltiplicazione tra frazioni con una semplificazione a croce:

Radice per radice con indici diversi

Per svolgere una moltiplicazione tra radici con indici diversi basta ridurle allo stesso indice, così da ricondurci al caso precedente.

All'atto pratico si deve:

• calcolare il minimo comune multiplo (mcm) tra gli indici delle radici;

• scrivere le radici equivalenti, ognuna delle quali avrà:

- come indice, l'mcm calcolato in precedenza;

- come radicando, il vecchio radicando elevato al risultato della divisione tra l'mcm e il vecchio indice.

• Svolgere la moltiplicazione tra le radici equivalenti, che a questo punto avranno lo stesso indice.

Esempio di radice per radice con indici diversi

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra gli indici, che sono 4 e 6. Scomponiamoli in fattori primi:

4 = 2^2 ; 6 = 2·3

L'mcm tra 4 e 6 è uguale al prodotto tra i fattori comuni e non comuni delle rispettive scomposizioni, presi una sola volta e con l'esponente maggiore:

Troviamo le radici equivalenti con indice 12.

La radice equivalente a e con indice 12 ha come radicando il vecchio radicando (3) elevato al risultato della divisione tra il nuovo indice (12) e il vecchio indice (4).

Passiamo alla seconda: . La sua radice equivalente con indice 12 è

Abbiamo ottenuto due radici con lo stesso indice, che sappiamo come moltiplicare:

***

È tutto, o quasi:

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