Numero perfetto

Un numero perfetto è un numero naturale n tale che la somma dei suoi divisori positivi, escluso il numero stesso, è uguale a n. In altri termini un numero perfetto è un numero naturale che è uguale alla somma dei suoi divisori propri.

Definizione di numero perfetto

Per capire la definizione di numero perfetto ricordiamo che i divisori di un numero naturale sono tutti i numeri interi, positivi e negativi, che dividono senza resto.

In altre parole un numero intero e non nullo è un divisore di se la divisione tra e ha come quoziente un numero intero e come resto zero.

Evidentemente ogni numero naturale è un divisore di se stesso, infatti

Ciò premesso consideriamo un qualsiasi numero naturale e troviamone i divisori positivi. Tra di essi c'è sicuramente : se lo escludiamo, quelli rimasti sono detti divisori propri di .

Se la somma dei divisori propri di è uguale a , allora è un numero perfetto.

Esempi di numeri perfetti

• Il più piccolo numero perfetto è 6, infatti i divisori positivi di 6 sono 1, 2, 3, 6.

Se escludiamo il numero 6 rimangono i divisori propri, che sono 1, 2, 3. Sommiamoli:

Poiché la somma dei divisori propri di 6 è pari a 6, il numero 6 è un numero perfetto.

• Dopo il numero 6, il successivo numero perfetto è 28.

Verifichiamolo: i divisori propri di 28 sono 1, 2, 4, 7, 14, e la loro somma è uguale a 28:

• Il numero perfetto successivo a 28 è 496, a cui segue il numero 8128.

• A oggi sono stati scoperti solo 51 numeri perfetti, di cui il più grande è un numero con 49 724 095 cifre, che possiamo scrivere in forma compatta come

Definizione formale di numero perfetto

Ora che non dovresti avere più dubbi sul concetto di numero perfetto, possiamo esprimerne la definizione in termini più formali. Riserviamo però questa parte agli studenti universitari e a quelli di quinta superiore. Se non è il tuo caso, puoi passare oltre e leggere l'elenco delle proprietà di cui godono i numeri perfetti.

Introduciamo la funzione sigma, definita come quella funzione da e a valori in che a ogni numero naturale associa la somma di tutti i divisori positivi di

dove la notazione nella sommatoria significa "(tale che) d divide n".

Dalla definizione di numero perfetto segue che

ossia, equivalentemente

Proprietà dei numeri perfetti

1) I numeri perfetti scoperti finora sono tutti numeri pari e con la cifra delle unità uguale a 6 oppure a 8. Tuttavia non si è ancora riusciti a dimostrare che questa proprietà vale per ogni numero perfetto.

2) I numeri perfetti sono numeri pratici, ossia ogni numero intero minore di un numero perfetto si può scrivere come somma tra divisori distinti del numero perfetto.

3) Nel sistema binario ogni numero perfetto si rappresenta con valori uguali a 1 seguiti da valori uguali a 0, dove è un numero primo.

4) Nel IV secolo avanti Cristo Euclide dimostrò che se è un numero primo, allora è un numero perfetto.

Numeri perfetti e numeri di Mersenne

I numeri primi della forma , con numero primo, sono detti numeri primi di Mersenne.

Dalla proprietà dimostrata da Eulero si deduce che esiste uno stretto legame tra numeri primi di Mersenne e numeri perfetti: ogni qualvolta si scopre un primo di Mersenne, si ricava automaticamente un nuovo numero perfetto.

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Concludiamo con due spunti che potrebbero esserti utili:

- multipli, sottomultipli e divisori di un numero, una lezione pensata per i ragazzi di scuola media ma che può essere utile a tutti per fare un ripasso;

- tavola dei divisori, dove trovi anche un tool per calcolare i divisori di un numero online.