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  • Un numero perfetto è un numero naturale la cui somma dei divisori positivi, escluso il numero stesso, coincide col numero in esame.

    In generale, quando dai divisori positivi di un numero si esclude il numero stesso, si parla di divisori propri di un numero.

    Possiamo quindi definire un numero perfetto come un numero naturale la cui somma dei divisori propri coincide col numero dato.

    Esempi di numeri perfetti

    1) Il più piccolo numero perfetto è 6, infatti i divisori positivi di 6 sono 1, 2, 3, 6.

    Escludendo il numero 6 rimangono i numeri i divisori propri 1, 2, 3, la cui somma è

    1+2+3=6

    Poiché la somma di tali divisori è 6, possiamo affermare che 6 è un numero perfetto.

    2) Un altro numero perfetto è 28, infatti i divisori propri di 28 sono: 1, 2, 4, 7, 14, la cui somma coincide proprio con 28.

    1+2+4+7+14=28

    3) Il numero perfetto successivo a 28 è 496, a cui segue il numero 8128.

    4) Ad oggi, sono stati scoperti solo 49 numeri perfetti, di cui il più grande è un numero con 44 677 235 cifre, che possiamo scrivere in forma compatta come

    2^{74207280} \times \left(2^{74207281}-1\right)

    Definizione di numero perfetto (per studenti universitari)

    Ora che dovrebbe essere chiaro cosa si intende per numero perfetto, possiamo darne una definizione rigorosa e per far ciò dobbiamo ricordare la definizione di funzione sigma.

    La funzione sigma è una funzione che associa ad ogni numero naturale n maggiore di zero un altro numero naturale dato dalla somma dei divisori di n. In simboli

    \sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ \\ n\in \mathbb{N} \mapsto \sigma(n):= \sum_{d|n}d

    Un numero naturale n è un numero perfetto quando

    \sigma(n)=2n

    Proprietà dei numeri perfetti

    1) I numeri perfetti scoperti finora sono tutti numeri pari la cui cifra delle unità è 6 oppure 8.

    2) I numeri perfetti sono numeri pratici, ossia ogni numero intero minore del numero perfetto si può scrivere come somma tra divisori distinti del numero perfetto.

    3) Nel sistema binario ogni numero perfetto si rappresenta con p valori uguali ad 1 seguiti da p-1 valori uguali a 0, dove p è un numero primo.

    4) Euclide dimostrò che se 2^p-1 è un numero primo, allora 2^{p-1} \cdot (2^p -1) è un numero perfetto.

    Numeri perfetti e numeri di Mersenne

    I numeri primi della forma 2^p-1 sono detti numeri primi di Mersenne. Quindi, dall'ultima proprietà enunciata si deduce che esiste uno stretto legame tra numeri primi di Mersenne e numeri perfetti: ogni qualvolta si scopre un primo di Mersenne, in automatico si ricava un nuovo numero perfetto. ;)

    Risposta di Galois
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