Soluzioni
  • Dividere per zero è un'operazione priva di significato, il cui risultato non esiste, quindi non ha senso dividere zero per zero o, più in generale, non ha senso svolgere una divisione per zero.

    Capire il motivo per cui dividere per zero è un'operazione priva di significato è molto semplice: la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione; ad esempio

    15:3=5

    perché 5 è quel numero che moltiplicato per 3 dà come risultato 15.

    Se cerchiamo di dividere un numero per zero ecco cosa succede:

    15:0 = quel numero che moltiplicato per 0 dà come risultato 15

    Come ben sappiamo però qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero, quindi è impossibile ottenere 15.

    Ora dovrebbe essere chiaro perché non ha senso dividere per zero.

    Dividere zero per zero

    Proviamo a dividere zero per zero

    0:0 = quel numero che moltiplicato per 0 dà come risultato zero.

    Pensiamoci un attimo: quale numero moltiplicato per zero dà 0? La risposta è: qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato zero. Allora, perché si dice che 0 diviso 0 è un'operazione non definita?

    Per definizione, un'operazione aritmetica (qual è la divisione) è un'operazione che, partendo da due numeri, permette di ottenere un unico risultato.

    Come abbiamo appena visto dividendo zero per zero si ottengono infiniti possibili risultati, e non uno solo. Pertanto dividere 0 per 0 è un'operazione che non verifica la definizione stessa di operazione, ed è proprio questo il motivo per cui non ha senso dividere 0 per 0.

    Dividere per zero nelle equazioni

    Solitamente, dopo aver ridotto in forma normale un'equazione di primo grado si ottiene

    ax=b

    Il passaggio finale che permette di trovare la soluzione è dividere ambo i membri dell'equazione per a, ossia per il coefficiente dell'incognita x.

    Possiamo sempre svolgere questa operazione? La risposta è no, infatti il secondo principio di equivalenza delle equazioni afferma che per ottenere un'equazione equivalente a quella data si possono moltiplicare o dividere ambo i membri dell'equazione per una stessa quantità, a patto che quest'ultima sia diversa da zero.

    Quindi, se dopo aver ridotto in forma normale un'equazione di primo grado essa si presenta nella forma

    0x=b

    non possiamo dividere per zero. Cosa fare, allora?

    Molto semplicemente:

    - se b\neq 0, allora l'equazione 0x=b è impossibile, infatti non esiste alcun numero x che moltiplicato per 0 dia come risultato un numero diverso da zero.

    - Se b=0, allora l'equazione 0x=0 è indeterminata, infatti qualsiasi numero x moltiplicato per 0 dà come risultato 0.

    Ricapitolando:

    \\ 0x=b, \mbox{ con b}\neq 0 \ \to \ \mbox{Equazione impossibile} \\ \\ 0x=b, \mbox{ con b}= 0 \ \to \ \mbox{Equazione indeterminata}

    Una piccola curiosità: dividere per zero nelle equazioni può portare a risultati inaspettati, come ad esempio dimostrare erroneamente che 1=0. ;)

    Risposta di Galois
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