Dividere zero per zero

Dividere zero per zero è un calcolo privo di significato, il cui risultato non esiste: in generale non si può dividere per zero indipendentemente dal dividendo, sia esso zero oppure un altro numero.

Perché in generale non si può dividere per zero?

Capire il motivo per cui dividere per zero è un'operazione priva di significato è molto semplice.

Per prima cosa ricordiamo che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.

Ad esempio 15 diviso 3 è uguale a 5 perché 5 è quel numero che, moltiplicato per 3, dà come risultato 15.

15:3=5 ↔ 5·3=15

E se volessimo dividere un numero per zero?

Se volessimo dividere 15 per zero dovremmo trovare come risultato quel numero che, moltiplicato per zero, dà 15 come risultato:

15:0=?

Come ben sappiamo qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero, quindi sarebbe impossibile ottenere 15.

Ora dovrebbe essere chiaro perché non ha senso dividere per zero.

Zero diviso zero

Nel caso di zero diviso zero cambia qualcosa, rispetto a quanto abbiamo appena visto?

Proviamo a ripetere il ragionamento e a dividere zero per zero: il risultato sarebbe quel numero che, moltiplicato per 0, dà come risultato 0:

0:0=?

Quale numero moltiplicato per 0 dà 0? Evidentemente qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0. Allora perché si dice che 0 diviso 0 è un'operazione priva di significato?

Un'operazione matematica, quale è la divisione, è una legge che a una coppia di numeri associa un unico numero, detto risultato.

Come abbiamo appena visto dividendo zero per zero si ottengono infiniti possibili risultati, e non uno solo. Di conseguenza zero diviso zero non verifica la definizione stessa di operazione, e ciò spiega perché si dice che zero diviso zero è un'operazione priva di significato.

Dividere per zero nelle equazioni

Solitamente dopo aver ridotto in forma normale un'equazione di primo grado si ottiene

Il passaggio finale, che permette di trovare la soluzione, prevede di dividere ambo i membri dell'equazione per , ossia per il coefficiente dell'incognita .

Possiamo sempre svolgere questa operazione? La risposta è no, infatti il secondo principio di equivalenza delle equazioni stabilisce che per ottenere un'equazione equivalente a quella data si possono moltiplicare o dividere ambo i membri dell'equazione per una stessa quantità, a patto che quest'ultima sia diversa da zero.

Se dopo aver ridotto un'equazione di primo grado in forma normale otteniamo

non possiamo dividere per zero. Cosa fare, allora?

Molto semplicemente:

- se , allora l'equazione è impossibile, infatti non esiste alcun numero che, moltiplicato per zero, dà come risultato un numero diverso da zero.

- Se , allora l'equazione è indeterminata, infatti qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero.

Ricapitolando:

***

Una piccola curiosità: dividere per zero nelle equazioni può portare a risultati inaspettati, come ad esempio dimostrare erroneamente che 1=0. ;)