Soluzioni
  • Il sistema esadecimale, o sistema numerico esadecimale, è un sistema di numerazione posizionale in base 16. Ciò vuol dire che per comporre un numero il sistema esadecimale usa 16 simboli, che sono:

    - le cifre da 0 a 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

    - le lettere dalla A alla F (A, B, C, D, E, F).

    Il sistema di numerazione che adoperiamo tutti i giorni è quello decimale (o in base dieci), che per comporre un qualsiasi numero usa le cifre da 0 a 9.

    Poiché al sistema esadecimale occorrono 16 simboli, alle dieci cifre del sistema decimale si aggiungono le prime sei lettere maiuscole dell'alfabeto (dalla A alla F) per un totale di 16 simboli.

    Per indicare che un numero è scritto utilizzando il sistema esadecimale, e quindi differenziarlo dalle rappresentazioni in altre basi, si deve racchiudere tra una coppia di parentesi tonde e indicare la base come pedice (in questo caso 16). Quando la base viene omessa si intende che il numero è espresso in base dieci.

    Ad esempio:

    302

    è il numero trecentodue nel sistema di numerazione decimale, mentre

    (302)16

    rappresenta un numero nel sistema esadecimale e si legge "tre zero due in base sedici", cioè si leggono le cifre che lo compongono una alla volta, specificando poi la base.

    Tabella esadecimale

    La tabella esadecimale è una tabella in cui sono elencate le 16 cifre del sistema esadecimale e il loro valore in base 10 e in base 2. Come vedremo tra poco è uno tra i più validi strumenti di conversione dal sistema decimale e da quello binario a quello esadecimale, e viceversa.

     

    Sistema esadecimale

    Sistema decimale

    Sistema binario

    0

    0

    0000

    1

    1

    0001

    2

    2

    0010

    3

    3

    0011

    4

    4

    0100

    5

    5

    0101

    6

    6

    0110

    7

    7

    0111

    8

    8

    1000

    9

    9

    1001

    A

    10

    1010

    B

    11

    1011

    C

    12

    1100

    D

    13

    1101

    E

    14

    1110

    F

    15

    1111

     

    Conversioni tra il sistema esadecimale e altri sistemi numerici

    Per svolgere le conversioni tra il sistema esadecimale e altri sistemi numerici si usano metodi differenti, a seconda dei sistemi di numerazione di partenza e di arrivo. Tra le conversioni più diffuse e studiate vi sono quelle:

    - dal sistema esadecimale a quello decimale;

    - dal sistema decimale all'esadecimale;

    - da esadecimale a binario;

    - da binario a esadecimale.

    Passiamole in rassegna una a una.

    Dal sistema esadecimale al sistema decimale

    Per svolgere la conversione da esadecimale a decimale occorre:

    -- assegnare la posizione alle cifre del numero da convertire, partendo dalla prima cifra a destra e spostandosi verso sinistra;

    -- scrivere il valore di ogni cifra nel sistema decimale servendosi della tabella esadecimale;

    -- moltiplicare il valore della prima cifra per 160, il valore della seconda per 161, il valore della terza per 162 e così via, fino ad esaurirle tutte;

    -- sommare i prodotti così ottenuti.

    Quello che si ottiene è la forma decimale del numero considerato.

    Esempio di conversione da esadecimale a decimale

    Convertire il numero (F5A)16 in base dieci.

    Svolgimento: assegniamo la posizione alle cifre. La prima è A, la seconda è 5, la terza è F

    Scriviamone i valori nel sistema decimale:

    A=10 \ \ ; \ \ 5=5 \ \ ; \ \ F=15

    Moltiplichiamo il valore della prima cifra per 160, il valore della seconda per 161 e il valore della terza per 162:

    \\ 10 \times 16^0 = 10 \times 1 = 10 \\ \\ 5 \times 16^1 = 5 \times 16 = 80 \\ \\ 15 \times 16^2 = 15 \times 256 = 3840

    Sommiamo i prodotti

    10+80+3840 = 3930

    e abbiamo finito!

    (F5A)_{16} = 3930

    Per altri esempi rimandiamo alla pagina sulla conversione da esadecimale a decimale.

    Dal sistema decimale al sistema esadecimale

    Per passare dal sistema decimale a quello esadecimale si procede nel modo seguente:

    - se il numero da convertire è compreso tra 0 e 15, basta leggerne il valore nella tabella esadecimale;

    - se il numero da convertire è maggiore di 15, si deve:

    -- dividere il numero per 16 e calcolare il quoziente e il resto della divisione;

    -- dividere il quoziente ottenuto per 16 e continuare a dividere ogni nuovo quoziente sempre per 16, fino a quando non si ottiene un quoziente nullo;

    -- scrivere i resti della divisione in ordine inverso rispetto a come sono stati ottenuti, e separarli l'uno dall'altro con un trattino;

    -- convertire i resti maggiori di 9 in lettere servendosi della tabella esadecimale e cancellare i trattini di separazione.

    Esempio di conversione da decimale a esadecimale

    Convertire il numero 6574 in base sedici.

    Svolgimento: 6574 è maggiore di 15, dunque svolgiamo la divisione tra 6574 e 16

    6574 : 16 = 410 \ \mbox{ resto } 14

    Il quoziente è diverso da zero, pertanto dividiamolo per 16

    410 : 16 = 25 \ \mbox{ resto } 10

    Continuiamo a dividere il quoziente per 16, fermandoci quando avremo un quoziente nullo

    \\ 25:16 = 1 \ \mbox{ resto } 9 \\ \\ 1:16=0 \ \mbox{ resto } 1

    Scriviamo i resti nell'ordine inverso rispetto a come li abbiamo ottenuti e separiamoli con un trattino:

    1 \ \ - \ \ 9 \ \ - \ \ 10 \ \ - \ \ 14

    I resti maggiori di 9 sono 10 e 14 che equivalgono, rispettivamente, alle cifre A ed E del sistema esadecimale, per cui

    6574 = (19AE)_{16}

    Per leggere altri esempi vedi: conversione da decimale a esadecimale.

    Dal sistema esadecimale al sistema binario

    Nelle conversioni da esadecimale al sistema binario si deve:

    -- separare le cifre del numero da convertire, mantenendo la posizione invariata;

    -- sostituire ogni cifra esadecimale con il corrispondente valore binario riportato nella tabella esadecimale;

    -- scrivere le cifre l'una dietro l'altra, senza spazi, ed eliminare eventuali zeri a sinistra.

    In alternativa, se non si dispone della tabella esadecimale si può calcolare dapprima la rappresentazione decimale, e successivamente passare dal sistema decimale al sistema binario.

    Per approfondire rimandiamo alla pagina dedicata alla conversione da esadecimale a binario.

    Esempio di conversione da esadecimale a binario

    Convertire il numero (7BD)16 in base due.

    Svolgimento: separiamo le cifre del numero da convertire

    7 \ \ B \ \ D

    Scriviamo il valore binario di ogni cifra servendoci della tabella esadecimale

    \\ (7)_{16} = (0111)_2 \\ \\ (B)_{16} = (1011)_2 \\ \\ (D)_{16}=(1101)_2

    e sostituiamo

    7 \ \ B \ \ D \ \ \ \to \ \ \ 0111 \ \ 1011 \ \ 1101

    Eliminiamo lo zero a sinistra e riscriviamo le cifre binarie senza spazi:

    (7BD)_{16} = (111 1011 1101)_2

    Dal sistema binario al sistema esadecimale

    Nelle conversioni da binario a esadecimale occorre:

    -- suddividere il numero binario in gruppi di quattro cifre, a partire da destra e spostandosi verso sinistra;

    -- sostituire ogni gruppo con il suo equivalente in base sedici utilizzando la tabella esadecimale.

    Se l'ultimo gruppo di sinistra (o l'intero numero binario) ha meno di quattro cifre, vanno aggiunti tanti zeri alla sua sinistra quanti servono per portarlo ad avere quattro cifre.

    Anche in questo caso, se non si dispone della tabella esadecimale, si può svolgere la conversione da binario a esadecimale passando dal sistema binario a quello decimale, e poi da decimale a esadecimale.

    Per tutti gli approfondimenti del caso: conversione da binario a esadecimale.

    Esempio di conversione da binario a esadecimale

    Convertire il numero (1011101)2 in base sedici.

    Svolgimento: dividiamo il numero in gruppi di quattro cifre a partire da destra

    101 \ \ 1101

    Il primo gruppo ha tre cifre, quindi aggiungiamo uno 0 alla sua sinistra

    0101 \ \ 1101

    Scriviamo il valore esadecimale di ogni gruppo di cifre

    \\ (0101)_2 = (5)_{16} \\ \\ (1101)_2 = (D)_{16}

    Abbiamo finito!

    (1011101)_2 = (5D)_{16}

    ***

    Per concludere ti segnaliamo il convertitore esadecimale, un pratico strumento online con cui puoi verificare i risultati delle conversioni.

    Risposta di Galois
 
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