Soluzioni
  • Per trovare la distanza tra due rette del piano la prima cosa da fare è stabilire la loro posizione reciproca.

    Per un noto teorema della Geometria Euclidea, due rette complanari possono essere incidenti oppure parallele.

    - Se siamo di fronte a due rette incidenti del piano, allora la loro distanza è uguale a zero. Infatti due rette incidenti hanno un punto in comune e dunque la loro distanza è nulla.

    - Se le due rette sono rette parallele, allora per trovare la loro distanza dobbiamo:

    1) scegliere una tra le due rette e trovare le coordinate cartesiane di un punto qualsiasi appartenente a tale retta.

    2) Calcolare la distanza tra il punto appena trovato e l'altra retta, applicando la formula per il calcolo della distanza punto retta.

    La distanza così trovata è proprio la distanza tra le due rette del piano.

    Ancor prima di vedere un esempio ricordiamo che due rette del piano sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare; in caso contrario le due rette sono necessariamente incidenti.

    Esempi sulla distanza tra due rette del piano

    A) Trovare la distanza tra le rette

    \\ r: \ x+2y-1=0 \\ \\ s: \ y=x+6

    La prima cosa da fare è stabilire la posizione reciproca tra queste due rette.

    La retta r è descritta mediante un'equazione in forma implicita, quindi il suo coefficiente angolare è dato dall'opposto del rapporto tra il coefficiente della x e il coefficiente della y

    m_r = -\frac{a}{b} = -\frac{1}{2}

    La retta s è data in forma esplicita, quindi la sua pendenza coincide col coefficiente della variabile x

    m_s=1

    Poiché i due coefficienti angolari sono diversi tra loro

    m_s \neq m_r

    le due rette sono incidenti e quindi la loro distanza è uguale a zero.

    B) Calcolare la distanza tra le rette

    \\ r: \ y=-\frac{4}{3}x+1 \\ \\ s: \ 4x+3y+12=0

    Poiché

    m_r=-\frac{4}{3}=m_s

    le rette r \mbox{ ed } s sono rette parallele, pertanto per trovarne la distanza tra le due rette procediamo seguendo la scaletta proposta inizialmente.

    1) Scegliere una retta a piacere e trovare le coordinate cartesiane di un punto appartenente a tale retta.

    Scegliamo la retta

    r: \ y=-\frac{4}{3}x+1

    Ponendo x=0 si ottiene y=1, quindi un punto appartenente alla retta r è P(0,1).

    2) Calcolare la distanza tra il punto P(0,1) e la retta s: \ 4x+3y+12=0.

    Indicando con (x_P, y_P)=(0,1) le coordinate del punto P e con a=4, \ b=3, \ c=12 i coefficienti della retta s, la distanza d(P,s) tra il punto P e la retta s è data dalla formula

    d(P,s) = \frac{|a \cdot x_P + b \cdot y_P + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

    Sostituendo i dati otteniamo

    d(P,s) = \frac{|4 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 12|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{0+3+12}{\sqrt{16+9}}=\frac{15}{\sqrt{25}}=\frac{15}{5}=3

    Tale distanza coincide con la distanza tra le due rette r \mbox{ ed } s, quindi possiamo concludere che la distanza tra le due rette è uguale a 3.

    Risposta di Galois
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