Distanza tra due rette nel piano

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Come si calcola la distanza tra due rette nel piano? Più esplicitamente vorrei sapere quanto vale e come si può calcolare la distanza tra due rette nel piano cartesiano, siano esse incidenti, coincidenti, oppure parallele.

 

Oltre a spiegarmi il metodo generale potreste proporre qualche esercizio svolto, con una spiegazione dettagliata di tutti i passaggi? In questo modo avrò degli svolgimenti da usare come guida per risolvere gli esercizi sulla distanza tra rette assegnati dal mio professore.

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • La distanza tra due rette nel piano è uguale a zero se le rette sono incidenti oppure parallele coincidenti, ed è diversa da zero se le rette sono parallele distinte. In quest'ultimo caso si calcola con la formula per la distanza di un punto da una retta.

    Come calcolare la distanza tra rette nel piano

    Siano r,s due rette nel piano cartesiano e indichiamo con d(r,s) la distanza tra di esse.

    La prima cosa da fare è studiare la posizione reciproca tra le due rette, e quindi stabilire se sono incidenti, parallele coincidenti oppure parallele distinte.

    Se non sai come fare, lo abbiamo spiegato qui: studio della posizione reciproca tra due rette nel piano.

    Caso 1 - Distanza tra rette incidenti nel piano

    Se r,s sono rette incidenti, la loro distanza è nulla.

    r,s incidenti ⇒ d(r,s) = 0

    Caso 2 - Distanza tra rette parallele coincidenti nel piano

    Se r,s sono rette parallele coincidenti, la loro reciproca distanza è pari a zero.

    r,s parallele coincidenti ⇒ d(r,s) = 0

    Caso 3 - Distanza tra rette parallele distinte nel piano

    Se r,s sono rette parallele distinte, la loro distanza reciproca è diversa da zero ed è uguale alla distanza di un punto qualsiasi della retta r dalla retta s

    r,s parallele distinte ⇒ d(r,s) = d(P,s) con P ∈ r

    Più esplicitamente per calcolare la distanza tra due rette parallele distinte occorre:

    • trovare le coordinate cartesiane di un punto P(x_P,y_P) della retta r;

    • ricavare l'equazione in forma implicita della retta s: ax+by+c = 0;

    • applicare la formula per la distanza di un punto di una retta, secondo cui

    d(P,s) = (|a·x_P+b·y_P+c|)/(√(a^2+b^2))

    Esempi sulla distanza tra due rette del piano

    1) Calcolare la distanza tra le rette

    r : x+2y-1 = 0 ; s : y = x+6

    Svolgimento: per prima cosa stabiliamo qual è la posizione reciproca; per farlo ci servono i coefficienti angolari delle due rette.

    L'equazione della retta r è data in forma implicita, quindi il suo coefficiente angolare è uguale all'opposto del rapporto tra il coefficiente a della x e il coefficiente b della y

    m_r = -(a)/(b) = -(1)/(2)

    L'equazione della retta s è in forma esplicita, quindi la sua pendenza coincide col coefficiente della x

    m_s = 1

    Poiché i due coefficienti angolari sono diversi

    m_s ≠ m_r

    le due rette sono incidenti e quindi la loro distanza è uguale a zero

    d(r,s) = 0

    2) Calcolare la distanza tra le rette

    r : y = -(4)/(3)x+1 ; s : y = -(4)/(3)x-4

    Svolgimento: partiamo dallo studio della posizione reciproca.

    I coefficienti angolari delle due rette sono uguali

    m_r = m_s = -(4)/(3)

    pertanto r,s sono rette parallele. Per stabilire se sono parallele distinte oppure parallele coincidenti basta analizzare le ordinate all'origine, che corrispondono ai termini noti delle loro equazioni in forma esplicita:

    q_r = 1 ; q_s = -4

    Poiché q_r ≠ q_s, ne consegue che le rette sono parallele distinte.

    Per calcolare la distanza procediamo nel modo seguente.

    - Troviamo le coordinate cartesiane di un punto qualsiasi della retta r.

    Prendiamo ad esempio x = 0 e sostituiamolo nell'equazione:

    x = 0 → y = -(4)/(3)·0+1 = 0+1 = 1

    e otteniamo il punto P(0,1) ∈ r.

    - Scriviamo l'equazione della retta s in forma implicita effettuando il passaggio dalla forma esplicita alla forma implicita

    s: 4x+3y+12 = 0

    - Calcoliamo la distanza tra il punto P e la retta s con la formula

    d(P,s) = (|a·x_P+b·y_P+c|)/(√(a^2+b^2))

    I coefficienti a,b,c corrispondono rispettivamente al coefficiente della x, al coefficiente della y e al termine noto dell'equazione in forma implicita della retta s

    a = 4 ; b = 3 ; c = 12

    mentre x_P, y_P sono ascissa e ordinata del punto P

    x_P = 0 ; y_P = 1

    Sostituiamo nella formula per la distanza punto-retta e otteniamo

    d(P,s) = (|a·x_P+b·y_P+c|)/(√(a^2+b^2)) = (|4·0+3·1+12|)/(√(4^2+3^2)) = (|0+3+12|)/(√(16+9)) = (|15|)/(√(25)) = (15)/(5) = 3

    La distanza tra le rette r,s è quindi uguale a 3

    d(r,s) = d(P,s) = 3

    ***

    Per concludere ecco un paio di link che potrebbero tornarti utili:

    - formulario sulla retta,

    - come disegnare una retta nel piano cartesiano,

    e, laddove servisse, ti segnaliamo la nostra lezione sul calcolo della distanza tra due rette nello spazio. ;)

    Risposta di Galois
 
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